No tengo una amplia formación en cálculo, pero estoy haciendo bastante trabajo de cálculo diferencial en este momento y hay algo que me molesta.
Digamos que tengo el diferencial
$\dfrac{d\ln (P(x))}{d\ln(x)}$
Donde $P$ es una función desconocida
Al definir $u = \ln(x)$ Puedo reescribir esto como
$\dfrac{d\ln (P(e^u))}{du}$
Que luego resolvería (utilizando la notación prima) de la siguiente manera
$\dfrac{f(g(h(u)))}{du}$
$f(z) = \ln(z)$ , $f'(z) = \dfrac{1}{z}$
$g(z) = P(z)$ , $g(z)' = P'(z)$
$h(z) = e^z$ , $h'(z) = e^z$
Así que utilizando la regla de la cadena ( nota que estoy siendo súper explícito en mis pasos )
$\dfrac{f(g(h(u)))}{du} = f'(g(h(u)) \times g(h(u))' $
$g(h(u))' = g'(h(u)) \times h'(u)$
$\dfrac{f(g(h(u)))}{du} = f'(g(h(u)) \times g'(h(u)) \times h'(u) $
$\dfrac{f(g(h(u)))}{du} = \dfrac{1}{P(e^u)} \times P'(e^u) \times e^u $
$\dfrac{f(g(h(u)))}{du} = \dfrac{P'(e^u)e^u }{P(e^u)} $
$\dfrac{f(g(h(x)))}{dx} = \dfrac{xP'(x)}{P(x)}$
$\dfrac{d\ln (P(x))}{d\ln(x)} = \dfrac{x}{P(x)}P'(x)$
1) ¿es este tipo de mezcla y combinación de Leibniz y la notación prima incluso "legal"?
Si no es así, ¿debo reescribir el diferencial como
$V'(\ln(x)) = \dfrac{d\ln (P(x))}{d\ln(x)} \text{ where } \Bigg(V(x) = \ln (P(x))\Bigg)$ (es decir, ¿es esto correcto?)
2) Prefiero utilizar la notación primitiva, pero ¿tiene esto algún inconveniente significativo (aparte de ser menos "limpio" en algunos lugares, es decir, se puede tratar $\dfrac{df(x)}{dx}$ como fracción en determinadas condiciones).
3) dado que P es una función (digamos que P se define como $P = kx + cx^2$ ), ¿cuál es la diferencia entre
$\dfrac{P(x)}{dx}$ y $\dfrac{P}{dx}$
Intento averiguar si lo que leo es simplemente una notación incoherente, o si hay diferencias funcionales/semánticas cruciales que no estoy entendiendo.
ACTUALIZACIÓN: Cómo lidiar con $\dfrac{d\ln(P(x))}{d\ln(x)}$
Para un ejemplo concreto, digamos que P(x) = 2x+5, por lo que, como se ha mencionado anteriormente, definimos $u = \ln(x)$
Volveríamos a escribir $\dfrac{d\ln(2x+5)}{d\ln(x)}$ como $\dfrac{d\ln(2e^u+5)}{du}$ , entonces resuelve esto obteniendo
$\dfrac{2e^u}{2e^u+5}$
Y por último sustituir $\ln(x)$ de nuevo para $u$
$\dfrac{2x}{2x+5}$
