El soporte de la medida de probabilidad es compacto

Question

Dejemos que $P$ sea una probabilidad en el Borel $\sigma$ - campo de $\mathbb{R}$ tal que toda función continua de valor real sobre $\mathbb{R}$ es integrable con respecto a $P$ . Demuestre que el apoyo de $P$ es compacto (soporte de $P$ es el subconjunto cerrado más pequeño $C$ de $\mathbb{R}$ con $P(C)$ = $1$ ). Mi idea era suponer lo contrario y producir una función no integrable, pero soy incapaz de resolverlo. Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Poner $A_{n}=[-n,n],\ B_{n}=A_{n}\backslash A_{n-1}$ . Si el soporte no es compacto, entonces existe una subsecuencia tal que $c_{k}:=P(B_{n_{k}})>0$ . Si $f$ es una función continua en $\mathbb{R}$ tal que $f(B_{n_{k}})\subseteq [1/c_{k},\infty]$ entonces $f$ no es integrable.