Encuentra las propiedades de la suma $\sum_{k=0}^n (-1)^k\binom{m+1}{k}\binom{m+n-k}{n-k}$

Question

Tengo que demostrar que $$\displaystyle\sum\limits_{k=0}^n (-1)^k\binom{m+1}{k}\binom{m+n-k}{n-k} = \begin{cases} 1\ \text{if}\ n=0 \\ 0\ \text{if}\ n>0 \end{cases}$$

Mi intento: He intentado utilizar el método del aceite de serpiente $$\sum_{k=0}^n \binom{m+1}{k}\binom{m+n-k}{n-k}$$ $$=\sum_m{\sum_{k=0}^n \binom{m+1}{k}\binom{m+n-k}{n-k}}x^m$$ $$={\sum_{k=0}^n(-1)^k \binom{m+1}{k}\sum_m\binom{m+n-k}{n-k}}x^m$$ Sabemos que la segunda suma $\frac{1}{(1-x)^{1+n-k}}=\sum_m\binom{m+n-k}{n-k}x^m$ $$=\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{m+1}{k}\frac{1}{(1-x)^{1+n-k}}$$$$ =\frac{1}(1-x)^{1+n}}suma_{k=0}^n(-1)^k\binom{m+1}{k}(1+x)^k$$ ¿Cómo debo proceder después?

Editar: Mi método puede ser absolutamente erróneo por lo que si alguien puede mostrarme algún otro método se lo agradecería mucho

Answer 1

Aquí no hace falta aceite de serpiente. Solo hay que negar el índice superior usando esta identidad:

$$\binom{r}{j} = (-1)^j \binom{j-r-1}{j},\quad \text{integer }j.$$

Obtenemos

$$\sum\limits_{k=0}^n (-1)^k\binom{m+1}{k}\binom{m+n-k}{n-k} = (-1)^n\sum_k \binom{m+1}{k}\binom{-m-1}{n-k}.$$

Ahora bien, esto no es más que una convolución de Vandermonde: el resultado es

$$(-1)^n\binom{(m+1)+(-m-1)}{n} = (-1)^n\binom{0}{n}.$$

Hecho. Esto es $0$ para $n > 0$ y $1$ para $n=0$ .

Answer 2

Nota: Aquí mostramos que el método del aceite de serpiente que fue aplicado por OP también funciona.

Dejemos que $S_m(n)$ denotan la serie \begin{align*} S_m(n)=\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{m+1}{k}\binom{m+n-k}{n-k}\qquad\qquad m,n\geq 0 \end{align*}

Lo siguiente es válido para $m\geq 0$ \begin{align*} S_m(n)= \begin{cases} 1\qquad&\qquad n=0\\ 0\qquad &\qquad n>0 \end{cases} \end{align*}

Obtenemos \begin{align*} \sum_{n=0}^\infty S_m(n)x^n&=\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{m+1}{k}\binom{m+n-k}{n-k}x^n\\ &=\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\binom{m+1}{k}\sum_{n=k}^\infty\binom{m+n-k}{n-k}x^n\tag{1}\\ &=\left(\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\binom{m+1}{k}x^k\right)\left(\sum_{n=0}^\infty\binom{m+n}{n}x^n\right)\tag{2}\\ &=(1-x)^{m+1}\sum_{n=0}^\infty\binom{-(m+1)}{n}(-1)^nx^n\tag{3}\\ &=\frac{(1-x)^{m+1}}{(1-x)^{m+1}}\tag{4}\\ &=1 \end{align*} y la afirmación es la siguiente.

Comentario:

• En (1) intercambiamos las sumas y el factor que no depende de la suma interna.

• En (2) desplazamos el índice $n$ de la suma interna para que empiece desde $0$ . Factorizamos $x^k$ (de $x^{n+k}$ ) y observe que las sumas están ahora separadas.

• En (3) aplicamos el _teorema del binomio_ a la suma de la izquierda y utilizar la identidad \begin{align*} \binom{-p}{q}=\binom{p+q-1}{q}(-1)^q \end{align*}

• En (4) aplicamos la _expansión de la serie binomial_ y el resultado es $1+0x+0x^2+\cdots$