¿Cómo se utiliza "como máximo una flecha" para demostrar que una categoría especial da lugar a un conjunto de preorden?

Question

Estoy trabajando en el ejercicio 2 de la página 1 de Teoría básica de las categorías Por Jaap van Oosten.

El problema es:

Si $\mathcal{C}$ es una categoría tal que $\mathcal{C}_0$ es un conjunto, y tal que para dos objetos cualesquiera $X, Y$ de $\mathcal{C}$ hay como máximo una flecha : $x \rightarrow y$ entonces $\mathcal{C}_0$ es un conjunto de preorden.

Intento demostrarlo utilizando la definición de conjunto preordenado:

• elemento: todos los objetos en $\mathcal{C}$
• relación binaria: $f: a \rightarrow b$ corresponde a $a \le b$ .
• reflexividad: implicada por los morfismos de identidad de $\mathcal{C}$ .
• transitividad: implicada por la composición de $\mathcal{C}$ .

Parece que la condición como máximo una flecha no se utiliza en ninguna parte. ¿Funciona mi prueba? ¿Me falta algo?

Answer 1

El problema está en la afirmación : cualquier conjunto es un preorden (por ejemplo declarar que todos los elementos son mínimos).

El enunciado correcto del ejercicio debería ser el siguiente (al menos supongo que es lo que quiere decir el autor):

Dejemos que $\mathsf{Pos}$ sea la categoría cuyos objetos son posets y cuyos morfismos son mapas no decrecientes. Sea $\mathsf{Slim}$ sea la categoría cuyos objetos son las categorías $\mathcal C$ tal que $\mathcal C_0$ es un conjunto y que para cada $x,y \in \mathcal C_0$ hay como máximo una flecha $x \to y$ y cuyos morfismos son los funtores entre dichas categorías.

Entonces demuestre que $\mathsf{Pos}$ equivale a $\mathsf{Slim}$ .