Es $SO(2,\mathbb R)=\{ A\in O(2,\mathbb R): det A=1\}$ conectado? ¿Por qué?
Respuesta
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Existe un morfismo suryectivo desde $(\mathbb{R}, +) \to SO(2,\mathbb{R})$ , $\ t \mapsto \left( \begin{array}{cc} \cos t &- \sin t\\ \sin t & \cos t \end{array} \right) $
$\bf{Added:}$ . $SO(n,\mathbb{R})$ está conectado para todos los $n$ . Hay muchas maneras de demostrarlo. Una forma sería esta: cualquier matriz $g$ en $SO(n, \mathbb{R})$ es conjugado ( en $SO(n, \mathbb{R}) $ ) a una matriz diagonal de bloques $h g h^{-1}$ de la forma \begin{equation*} h g h^{-1} = \left( \begin{array}{cccc} \cos t_1 & - \sin t_1 & 0 & 0 & \ldots \\ \sin t_1 & \cos t_1 & 0 & 0 & \ldots \\ 0 & 0 & \cos t_2 &- \sin t_2 & \ldots\\ 0 & 0 & \sin t_2 & \cos t_2 & \ldots\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ddots \end{array} \derecha) \N - fin{ecuación*} con los últimos bloques \begin{equation*} \left( \begin{array}{ccc} \cos t_{ \lfloor{\frac{n}{2}}\rfloor } &-\sin t_{ \lfloor{\frac{n}{2}}\rfloor } \\ \sin t_{ \lfloor{\frac{n}{2}}\rfloor }& \cos t_{ \lfloor{\frac{n}{2}}\rfloor } \end{array} \derecha) \fin{ecuación*}
si $n$ incluso o \begin{equation*} \left( \begin{array}{ccc} \cos t_{ \lfloor{\frac{n}{2}}\rfloor } &-\sin t_{ \lfloor{\frac{n}{2}}\rfloor } &0\\ \sin t_{ \lfloor{\frac{n}{2}}\rfloor }& \cos t_{ \lfloor{\frac{n}{2}}\rfloor } &0 \\ 0&0&1 \end{array} \derecha) \N - fin {equation*} si $n$ es impar.
Así, $SO(n, \mathbb{R})$ es una unión de conjugados de un subgrupo isomorfo a $SO(2, \mathbb{R})^{\lfloor{\frac{n}{2}\rfloor}}$ por lo que es una unión de subgrupos conexos y, por tanto, también conexos ( los subgrupos tienen todos un punto común $e$ ).
