mapeo isomórfico en la suma directa y los productos

Question

He encontrado un antiguo post aquí: https://www.physicsforums.com/threads/question-about-isomorphic-mapping-on-direct-sums.709423/

Al leer la respuesta a la pregunta publicada en el enlace anterior, encontré que es contradictoria con lo que vi aquí: http://www.math.harvard.edu/~elkies/M55a.10/lemma3.pdf

Así que la pregunta es: ¿cuál es la verdad? ¿Es posible construir un mapa de isomorfismo significativo en el caso de la suma directa infinita? ¿En el caso del producto directo?

Answer 1

Aquí se hacen dos afirmaciones diferentes. Una es que: para cualquier $v\in \bigoplus V_i=:V,$ $\sum_i \iota_i\pi_i v=v$ . Esto tiene sentido, porque $\pi_i v=0$ para todos los casos, excepto para un número finito de $i$ y también es cierto. Una es que $\sum_i \iota_i\pi_i=1_{\oplus V_i}$ . En la medida en que esto significa lo mismo que la primera afirmación, por supuesto que es cierto. Pero, y este es el punto de Elkies, una suma infinita como $\sum_i \iota_i\pi_i$ en un espacio vectorial como $\text{End}(\oplus V_i)$ sólo está definida si todos los sumandos, excepto los finitos, son cero, y todos los $\iota_i\pi_i$ son distintos de cero, por lo que esta suma es indefinida.

Como dice el contestador del foro de física, es posible decir que por $\sum \iota_i\pi_i$ Sólo me refiero a lo que envía $v$ a $\sum\iota_i\pi_i v$ y, por tanto, la primera se define porque la segunda lo es. Pero esto utiliza más que la estructura del espacio vectorial en $\text{End}V$ . En concreto, utiliza el hecho de que $\text{End} V$ actúa en $V$ en cuyo caso lo que queremos decir con el símbolo $\sum \iota_i\pi_i$ no es un elemento de $\text{End} V$ en absoluto, sino simplemente una función de $V$ a $V$ construido a partir de la acción natural de $\text{End} V$ en $V$ que resulta coincidir con $1_V$ . Así que la respuesta más exacta es que si ves $\text{End} V$ como un espacio vectorial abstracto, entonces la identidad propuesta carece de sentido, pero si lo vemos como un anillo con una acción asociada sobre $V$ entonces se cumple la identidad. Así que, independientemente, el caso infinito se distingue claramente del caso finito, cuando $\sum \iota_i\pi_i=1_V$ es una identidad perfectamente válida sin necesidad de $V$ en absoluto.

Todo esto es bastante sutil, y probablemente no sea muy significativo en la práctica, pero por otro lado creo que aclara la situación conceptual lo suficiente como para que merezca la pena explicarlo.

En cuanto a los productos directos, no hay esperanza: la imagen de los elementos del $V_i$ bajo la inclusión $V_i\to \prod V_i$ ni siquiera abarcan $\prod V_i$ cuando hay infinitas $i$ . (Si esto no le queda claro, piense en la extensión de las imágenes de las copias de $\mathbf{R}$ en el espacio de los productos $\mathbf{R}^{\mathbf{R}}$ .)