Uso de la fórmula de Taylor para encontrar los límites de las funciones

Question

Utilizando la fórmula de Taylor, demuestre que para cada $x$ en el intervalo cerrado $[0, \pi/2]$ que tenemos:

$$ \sin x \le x - \frac{x^3}6 + \frac{x^5}{120} $$

Sé que estos son los primeros términos de la expansión de pecado, pero no puedo entender por qué es suficiente para demostrar la desigualdad.

(Disculpen la falta de conocimiento para escribir el texto de forma adecuada)

Answer 1

Obsérvese que existe un número $\xi \in (0,\pi/2)$ tal que

$$\sin(x)=x-\frac16x^3+\frac1{120}x^5-\frac{1}{7!}\cos(\xi)x^7 \tag 1$$

Desde $\cos(\xi)>0$ para $\xi \in (0\,\pi/2)$ el último término de $(1)$ es negativo y por lo tanto

$$\sin(x)\le x-\frac16x^3+\frac{1}{120}x^5$$

para $x\in [0\,\pi/2]$ .

Answer 2

Fijemos $I=\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ . Tenemos: $$ \forall x\in I,\qquad \sin(x)\leq x \tag{1} $$ por lo que integrando ambos lados sobre el intervalo $[0,z]$ , $$ \forall z\in I,\qquad 1-\cos(z) \leq \frac{z^2}{2}\tag{2} $$ por lo que integrando ambos lados sobre el intervalo $[0,x]$ , $$ \forall x\in I,\qquad x-\sin(x) \leq \frac{x^3}{6} \tag{3} $$ por lo que integrando ambos lados sobre el intervalo $[0,z]$ , $$ \forall z\in I,\qquad -1+\frac{z^2}{2}+\cos(z) \leq \frac{z^4}{24}\tag{4} $$ por lo que integrando ambos lados sobre el intervalo $[0,x]$ , $$ \forall x\in I,\qquad -x+\frac{x^3}{6}+\sin(x) \leq \frac{x^5}{120} \tag{5} $$ como se quería.