Centro de masa de $4z^2=x^2+y^2$ en $x=0, y=0, z=0, z=3$

Question

Tengo un sólido limitado por el cono: $4z^2=x^2+y^2$ y los siguientes planos: $x=0, y=0, z=0, z=3$

Este sólido tiene una densidad = $1$

Ya he encontrado el volumen utilizando la siguiente integral triple ( $r$ refiriéndose al radio):

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{6}\int_{\sqrt{r^2/4}}^{3} r dz dr d\theta =9\pi$$

A partir de ahí, ¿cuál sería la mejor manera de encontrar el momento de inercia y finalmente el centro de masa / baricentro?

Gracias de antemano

Answer 1

El cono es simétrico para x e y .Z es el eje de simetría del cono. Es comparable con girar un triángulo isósceles alrededor de z. La altura del cono es de 0 a 0 3, es decir $h=3$ por lo que el centro de masa tendrá una distancia $\frac23 h=2$ desde el vértice del cono . Las coordenadas de este punto son $C (0, 0, 2).$

Answer 2

Obsérvese que el volumen del primer cuadrante es la cuarta parte del del cono entero, es decir $\frac14\cdot \frac13\cdot 3 \cdot (\pi \cdot6^2)= 9\pi$ . Entonces, las coordenadas de su baricentro son

$$z_c =\frac1{9\pi}\int_0^3 \int_0^{2z} \int_0^{\frac\pi2}z \>r dr d\theta dz=\frac94 $$

$$x_c=y_c =\frac1{9\pi}\int_0^3 \int_0^{2z} \int_0^{\frac\pi2} r\cos\theta \> rdr d\theta dz=\frac6\pi $$