Homomorfismo de $G=GL(n,\mathbb R)$ y $H=GL(n,\mathbb R)$ donde $f(A)=(A^{-1})^T$

Question

¿Esto es $f:G\rightarrow H$ un homomorfismo.

A primera vista parece ser un automorfismo dado

$G=GL(n,\mathbb R)$ y $H=GL(n,\mathbb R)$ donde $f(A)=(A^{-1})^T$

Así que $f(AB)=((AB)^{-1})^T=(A^{-1})^T(B^{-1})^T=f(A)f(B)$

¿El núcleo sería entonces

ker $f = SL(n, \mathbb R):(A \in GL(n, \mathbb R)| \det(A) = 1)$ .

No estoy seguro de cómo debería conmutarse el núcleo de esto. Cualquier ayuda estaría bien gracias.

Answer 1

$A$ está en el núcleo si $f(A)=I$ . Pero $(A^{-1})^T=I$ implica $A=(I^T)^{-1}$ , que sigue siendo $=I$ .

También, $g\colon H\to G$ , $X\mapsto (X^T)^{-1}$ es obviamente un homomorfismo inverso, por lo que ambos son isomorfismos.