Demostrar que la media aritmética y geométrica de una colección de números no negativos se encuentra entre sus valores mínimos y máximos

Question

Considere los números reales no negativos $a_1, a_2, a_3, ... , a_n$ . ¿Cómo puedo demostrar que tanto la media aritmética (AM) como la media geométrica (GM) de $a_1, a_2, a_3, ... , a_n$ están contenidos en el intervalo $[x, y]$ , donde $x = \text{minimum of} (a_1, a_2, a_3, ... , a_n)$ y $y = \text{maximum of} (a_1, a_2, a_3, ... , a_n)$ ?

Sé que la desigualdad de GM AM establece que GM $\leq$ AM, por lo que bastaría con demostrar que GM $\geq$ x y AM $\leq$ y. ¿Estoy en lo cierto hasta ahora, y si es así, cómo debo proceder con la prueba? Cualquier pista o ayuda en este sentido será muy apreciada.

Gracias.

Answer 1

Sólo hay que tener en cuenta que

• $0\leq x \leq a_i \Rightarrow \sqrt[n]{x^n}\leq \sqrt[n]{a_1 \cdot \ldots \cdot a_n}$
• $a_i \leq y \Rightarrow \frac{a_1 + \cdots + a_n}{n}\leq \frac{y + \cdots + y}{n} = y$

Answer 2

Sí, tienes razón, basta con demostrar que

i) $GM\geq x$ Es decir $$a_1 a_2 a_3 \cdots a_n\geq x\cdot x\cdot x\cdots x= x^n$$ que se mantiene porque $a_k\geq x=\min(a_1,a_2,a_3,\dots,a_n)\geq 0$ para $k=1,2,3,\dots,n$ .

ii) $AM\leq y$ Es decir $$a_1+a_2+a_3 +\dots +a_n\leq y+ y+ y+\dots+ y=ny$$ que se mantiene porque $a_k\leq y=\max(a_1,a_2,a_3,\dots,a_n)$ para $k=1,2,3,\dots,n$ .

Answer 3

GM: $\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\geq\sqrt[n]{x^n}= x$

AM: $\frac{a_1+a_2+\cdots+ a_n}{n}\leq \frac{ny}{n}=y$

$y\geq(AM,GM)\geq x$