¿Por qué el determinante de esta matriz es cero?

Question

Tengo un sistema de ecuaciones que resolver $Ax = b$ pero el determinante de la matriz $A$ es cero.

$$A=\begin{bmatrix}1&1&0&0\\0&0&1&1\\1&0&1&0\\0&1&0&1\end{bmatrix}$$

Para mí, ninguna de las filas/columnas de esta matriz parece dependiente. Me pregunto por qué el determinante de la matriz $A$ ¿es cero?

Además, ¿cómo debo resolver este sistema o estimar $x$ ?

Answer 1

$$ (1,1,0,0)+(0,0,1,1)-(1,0,1,0)-(0,1,0,1)=(0,0,0,0) $$ por lo que las filas son lineales dependiente .

Answer 2

Supongamos que $b=\begin{bmatrix}b_1&b_2&b_3&b_4\end{bmatrix}^T$ and consider the Gaussian elimination on the complete matrix: \begin{align} \left[\begin{array}{cccc|c} 1&1&0&0&b_1\\ 0&0&1&1&b_2\\ 1&0&1&0&b_3\\ 0&1&0&1&b_4 \end{array} \[derecha] &\a \izquierda[ \begin{array}{cccc|c} 1&1&0&0&b_1\\ 0&0&1&1&b_2\\ 0&-1&1&0&b_3-b_1\\ 0&1&0&1&b_4 \end{array} \N - derecho] &&R_3\gets R_3-R_1 \\[6px]&\a \izquierda[ \begin{array}{cccc|c} 1&1&0&0&b_1\\ 0&1&-1&0&b_1-b_3\\ 0&0&1&1&b_2\\ 0&1&0&1&b_4 \end{array} \N - derecha] &&R_3flecha izquierda-derecha R_2,\Ncuadro R_2obtiene-R_2 \\R_2, R_2 obtiene R_2, R_3[6px] &&R_3 \a la izquierda[ \begin{array}{cccc|c} 1&1&0&0&b_1\\ 0&1&-1&0&b_1-b_3\\ 0&0&1&1&b_2\\ 0&0&1&1&b_4-b_1+b_3 \end{array} \N - derecho] &&R_4\gets R_4-R_2 \\[6px]&\a \izquierda[ \begin{array}{cccc|c} 1&1&0&0&b_1\\ 0&1&-1&0&b_1-b_3\\ 0&0&1&1&b_2\\ 0&0&0&0&b_4-b_1+b_3-b_2 \end{array} \[derecha] &&R_4\gets R_4-R_3 \N - etiqueta{*} \\[6px]&\a \a la izquierda[ \begin{array}{cccc|c} 1&1&0&0&b_1\\ 0&1&0&1&b_1-b_3+b_2\\ 0&0&1&1&b_2\\ 0&0&0&0&b_4-b_1+b_3-b_2 \end{array} \[derecha] &&R_2\gets R_2+R_3 \\[6px]&\a \izquierda[ \begin{array}{cccc|c} 1&0&0&-1&b_3-b_2\\ 0&1&0&1&b_1-b_3+b_2\\ 0&0&1&1&b_2\\ 0&0&0&0&b_4-b_1+b_3-b_2 \end{array} \[derecha] &&R_1\gets R_1-R_2 \fin {align} Del paso marcado como (*) deducimos que

1. la matriz $A$ tiene rango $3$ (por tanto, determinante cero);
2. el sistema tiene solución si y sólo si $b_4-b_1+b_3-b_2=0$ .

Cuando $b_4-b_1+b_3-b_2=0$ el sistema tiene infinitas soluciones de la forma $$ \begin{bmatrix} b_3-b_2+h\\ b_1-b_3+b_2-h\\ b_2-h\\ h \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_3-b_2\\ b_1-b_3+b_2\\ b_2\\ 0 \end{bmatrix} + h\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} $$ donde $h$ es cualquier escalar.

Answer 3

Considere lo siguiente matriz de bloques : $$ M=\left[\begin{array}[cc]\\A&B\\ C&D\end{array}\right] $$ donde $A$ , $B$ , $C$ y $D$ tienen el mismo orden. Si $D$ sea invertible entonces tenemos: $$ \det(M)=\det(D)\cdot \det(A-BD^{-1}C) $$ En su pregunta $C=D=I_2$ la matriz de identidad de orden $2$ , lo que da como resultado que: $$ \det(M)=\underbrace{\det(D)}_1\cdot \det(A-B)=\det( \left[ \begin{array}[cc] \\1&1\\ -1&-1 \end{array} \right])=0 $$