Si $G = \langle a\rangle$ y $b$ $\in$ $G$ El orden de $b$ es un factor del orden de $a$

Question

El libro "A Book of Abstract Algebra" del profesor Pinter presenta el siguiente ejercicio del capítulo "Cyclic Groups":

Si $G = \langle a\rangle$ es finito y $b$ $\in$ $G$ El orden de $b$ es un factor del orden de $a$

Creo que la prueba viene dada por el Teorema $2$ de este capítulo:

Todo subgrupo de un grupo cíclico es cíclico.

¿Proporciona este teorema una prueba adecuada a este ejercicio?

Answer 1

He aquí una respuesta más acorde con los conceptos aprendidos en el libro de Pinter hasta ese momento (es decir, sin teorema de Lagrange, etc.).

Que la orden $(a) = n$ . Por lo tanto, hay $n$ elementos en $G$ .

Entonces, como $b \in G$ tenemos $b = a^i$ para algunos $1 \leq i \leq n$ . Esto se debe a que desde $G = \langle a \rangle$ es cíclico, $G$ contiene todos los poderes de $a$ y nada más.

Así que tenemos $b^n = (a^i)^n = (a^n)^i = e^i = e,$

mostrando que la orden $(b) | n$ .

Es decir, la orden $(b) |$ ord $(a)$ .