Si $G = \langle a\rangle$ y $b$ $\in$ $G$ El orden de $b$ es un factor del orden de $a$

Question

El libro "A Book of Abstract Algebra" del profesor Pinter presenta el siguiente ejercicio del capítulo "Cyclic Groups":

Si $G = \langle a\rangle$ es finito y $b$ $\in$ $G$ El orden de $b$ es un factor del orden de $a$

Creo que la prueba viene dada por el Teorema $2$ de este capítulo:

Todo subgrupo de un grupo cíclico es cíclico.

¿Proporciona este teorema una prueba adecuada a este ejercicio?

Answer 1

El teorema que has indicado sostiene que todo subgrupo es cíclico. La pregunta requiere algo ligeramente diferente.

Suponiendo que $G$ es un grupo finito, ¿qué se puede decir del orden del subgrupo $H=\langle b \rangle$ ? Intenta utilizar el teorema de Lagrange después de ese punto.

Answer 2

Una pista: Considere $m$ el menor número entero tal que $a^m \in H$ , donde $H = \langle b \rangle \leq G$ . Claramente $\langle a^m \rangle \subseteq H$ . Tome cualquier $a^u \in H$ y dividir $u$ por $m$ utilizar la minimización de $m$ .

Finalmente $H = \langle a^m \rangle$ donde $H$ tiene orden $n/m$ donde $|G| = n$ .

Answer 3

Consideremos el subgrupo $H = \langle b \rangle$ . El orden de $b$ será el orden de $H$ . Pero sabemos (teorema de Lagrange, por ejemplo) que $|H| = {\rm ord} b $ divide $|G| = {\rm ord} a$ que es su conclusión.

Answer 4

Yo diría que no En sí mismo, en lo que respecta a la pura lógica, la citada afirmación permitiría que el orden del subgrupo (cíclico) no sea un factor del orden del grupo.

Sin embargo, junto con el teorema de Lagrange ( $|H|$ divide $|G|$ para todos $H\le G$ ), es suficiente.

Answer 5

En el capítulo anterior, capítulo 10, el ejercicio 10.D.2 dice:

Dejemos que a sea cualquier elemento de orden finito de un grupo G. Demuestre lo siguiente siguiente:

El orden de a^k es un divisor (factor) del orden de a .

Este ejercicio tiene una respuesta en la parte posterior del libro.