Demuestre que si $''(x_0)$ entonces

Question

Demostrar que $f$ tiene un cero simple en $x_0$ si y sólo si: $$f(x) =g(x)(x-x_0),$$

donde $g$ es continua en $x_0$ y diferenciable en una vecindad borrada de $x_0$ y $g(x_0)\neq{0}$

Sé que una función tiene un cero simple en $x_0$ si $f$ es diferenciable en $x_0$ y $f(x_0) = 0$ , mientras que $f'(x_0)\neq{0}$

Pero no estoy seguro de cómo empezar con la prueba. Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Si $f$ tiene un cero simple en $x_0$ Entonces, defina $$g(x)=\begin{cases}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}&\text{ if }x\neq x_0\\f'(x_0)&\text{ otherwise.}\end{cases}$$ Entonces $f(x)=g(x)(x-x_0)$ y $g$ es continua en $x_0$ ya que $$g(x_0)=f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}g(x).$$ Además, $g(x_0)=f'(x_0)\neq0$ .

Por otro lado, si $f(x)=g(x)(x-x_0)$ y $g$ es continua en $x_0$ con $g(x_0)\neq0$ entonces $$f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}g(x)=g(x_0)\neq0.$$

Answer 2

Si $f(x)=g(x)(x-x_0)$ , entonces diferenciar y obtener trivialmente la conclusión de que $x_0$ es un simple cero. A la inversa, dejemos que $f$ tiene un cero simple en $x_0$ . Por una fórmula deseada $f(x)=g(x)(x-x_0)$ , $g$ debe ser definida por $g(x)=\dfrac{f(x)}{x-x_0}.$ Según la definición de una derivada $f'(x_0)$ o, como prefieras, la regla del hospital, define $g(x_0)=f'(x_0)$ . Ahora comprueba los detalles.