¿Cómo podemos interpretar las derivaciones como elementos de la gavilla tangente

Question

Supongamos que $X$ es una variedad algebraica y $\delta : X \to X \times X$ es el mapa diagonal. Estoy definiendo la gavilla cotangente $\Omega^1_X$ como $\delta^{-1}(I/I^2)$ donde $I$ es la gavilla ideal de funciones en $\mathcal{O}_{X\times X}$ que desaparece en la diagonal. Entonces uso la definición de la gavilla tangente como la gavilla dual $$ \Theta_X := \mathcal{H}om_{\mathcal{O}_X}(\Omega^1_X, \mathcal{O}_X). $$

Sé que si tenemos un elemento $\alpha$ en $\Theta_X$ y luego precomponer con el mapa $d(f) = f\otimes 1 - 1 \otimes f \text{ mod } I^2$ nos da una derivación. ¿Pero cómo podemos ir en la dirección opuesta e interpretar una derivación de la gavilla de estructura como un elemento de la gavilla tangente? No me preocupan demasiado los detalles, pero una idea general estaría bien. Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Supongamos que $X$ es un afín $k$ -sistema, digamos $X = \operatorname{Spec} A$ donde $A$ es un $k$ -Álgebra. Su definición de la gavilla cotangente equivale a esto: tomando $I = \ker (A \otimes_k A \to A)$ , $\Omega = I / I^2$ (considerado como un $A$ -). Sin embargo, existe otra definición: para cada $A$ -Módulo $M$ existe una biyección natural entre $A$ -homomorfismos de módulos $\Omega \to M$ y $k$ -derivaciones $A \to M$ .

De hecho, como usted dice, dado un $A$ -homomorfismo de módulo $\phi : \Omega \to M$ podemos definir un $k$ -derivación $\psi : A \to M$ por $\psi (a) = \phi (a \otimes 1 - 1 \otimes a)$ y a la inversa, dado un $k$ -derivación $\psi : A \to M$ podemos definir un $A$ -homomorfismo de módulo $\phi : \Omega \to M$ por $\phi (a \otimes b) = \psi (a) b$ . Es sencillo comprobar que son mutuamente inversos.

En particular, $A$ -homomorfismos de módulos $\Omega \to A$ corresponden a $k$ -derivaciones $A \to A$ .