Producto de grupo de permutación

Question

Dejemos que $E,F$ sean dos espacios vectoriales y $\varphi: \overbrace{E\times \cdots \times E}^{\text{$ p $ times}} \to F$ a $p$ -mapa lineal. Si $\sigma$ es una permutación en $S_{p}$ entonces podemos definir otro $p$ -mapa lineal $\sigma \varphi: \overbrace{E\times \cdots \times E}^{\text{$ p $ times}}\to F$ por: $$(\sigma \varphi)(x_{1},...,x_{p}) := \varphi(x_{\sigma(1)},...,x_{\sigma(p)})$$

Ahora, mi libro dice que si $\tau, \sigma$ son dos permutaciones, entonces: $$(\tau \sigma)\varphi = \tau(\sigma \varphi)$$ Sin embargo, según mis cálculos: $$[(\tau \sigma)\varphi](x_{1},...,x_{p}) = \varphi(x_{\tau(\sigma(1))},...,x_{\tau(\sigma(p))}) = [\sigma(\tau \varphi)](x_{1},...,x_{p})$$ desde $[\sigma(\tau\varphi)](x_{1},...,x_{p}) = (\tau\varphi)(x_{\sigma(1)},...,x_{\sigma(p)}) = \varphi(x_{\tau(\sigma(1))},...,x_{\tau(\sigma(p))})$ . ¿Dónde está mi error?

Answer 1

En general, no es cierto que $\varphi(x_{\tau(\sigma(1))},...,x_{\tau(\sigma(p))}) = [\sigma(\tau \varphi)](x_{1},...,x_{p})$ -- esto sólo se aplica si $\tau$ y $\sigma$ ir al trabajo en $S_p$ . Por ejemplo $p=3$ , $\tau = (1\ 3), \sigma = (1\ 2\ 3)$ . Entonces $$\sigma\tau \phi = (1\ 2\ 3)(1\ 3)\phi = \phi(x_1,x_3,x_2) $$ $$\tau\sigma \phi = (1\ 3)(1\ 2\ 3)\phi = \phi(x_2, x_1, x_3)$$

Lo que sí es cierto es que al evaluar $\sigma\tau\phi$ (por ejemplo), puede aplicar primero $\tau$ a $\phi$ y finalmente aplicar $\sigma$ o puede solicitar primero $\sigma$ a $\tau$ y luego aplicar esta permutación combinada ( $\sigma\tau$ ) a $\phi$ .

Answer 2

Hay un error cuando se escribe

$$[(\tau \sigma)\varphi](x_{1},...,x_{p}) = \varphi(x_{\tau(\sigma(1))},...,x_{\tau(\sigma(p))}) = [\sigma(\tau \varphi)](x_{1},...,x_{p})$$

Usted tiene

$$\begin{aligned}(\tau \sigma)\varphi(x_{1},...,x_{p}) &= \varphi(x_{(\tau\sigma)(1)},...,x_{(\tau\sigma)(p))})\\ &= \varphi(x_{(\tau\circ \sigma)(1)},...,x_{(\tau\circ \sigma)(p))})\\ &= \varphi(x_{(\tau(\sigma(1))},...,x_{(\tau(\sigma(p))})\\ &= \tau(\varphi(x_{\sigma(1)},...,x_{\sigma(p)})\\ &= \tau(\sigma\varphi(x_1,...,x_p)\\ \end{aligned}$$

Por lo tanto, la igualdad de su libro $$(\tau \sigma)\varphi = \tau(\sigma \varphi)$$