Usando Cayley-Hamilton y módulos fieles para mostrar $x\in B$ es integral sobre $A$

Question

Esto es de la Proposición 5.1 del libro de Atiyah y MacDonald. Supongamos que $B$ es un anillo que contiene el anillo $A$ y que $x\in B$ . Supongamos también que existe una entidad fiel finitamente generada $A[x]$ -Módulo $M$ que se genera finitamente como un $A$ -módulo. Quiero demostrar que $x\in B$ es integral sobre $A$ .

Dejemos que $\phi \colon M \to M$ sea la multiplicación por $x$ Así que $\phi(m) = xm.$ Entonces $\phi(M) \subseteq M = AM$ porque $M$ es un $A[x]$ -y se cierra por la acción de $x$ . Así que por Cayley-Hamiltion, existe $a_1,\dots,a_n \in A$ tal que $$\phi^n + a_1\phi^{n-1} + \cdots + a_n = 0$$ como un mapa en $M$ .

Ahora $M$ es fiel, por lo que para cualquier $a \in A[x],$ tenemos que $a.m \neq 0$ para algunos $m \in M.$ En particular, $x^nm \neq 0$ para algunos $m \in M$ . Entonces, al enchufar $m\in M$ en la ecuación anterior, obtenemos $$x^nm +a_1x^{n-1}m + \cdots + a_0m = 0.$$ Pero, ¿por qué esto implica que $x$ es integral sobre $A?$ Tendríamos que deshacernos del $m$ pero no veo cómo hacerlo.

Answer 1

La clave es que en realidad sabes que $$x^nm +a_1x^{n-1}m + \cdots + a_nm = 0$$ para todo $m\in M$ . Es decir, escribir $y=x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_n\in A[x]$ , usted sabe que $ym=0$ para todos $m\in M$ . Desde $M$ es fiel sobre $A[x]$ Esto implica $y=0$ .