¿Cómo es que $(x+h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3$ ?

Question

¡Buenas tardes mis maravillosos amigos!

Siempre que hago esta ecuación la configuro utilizando la diferencia de dos cubos que es el siguiente:

$(a+b)^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3 + b^3$

Siempre que intento usar esta fórmula me sale:
$(x+h) x^2 - xh + h^2$
Simplifica:
$x^3 - x^2h + h^2x + x^2h - xh^2 + h^3$
Simplifica:
x^3 + h^3$

No entiendo de dónde salen los tres en la respuesta final: $(x+h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3$

Answer 1

$$(x+h)^3=(x+h)(x+h)^2=(x+h)(x^2+2hx+h^2)=$$

$$x^3+2hx^2+h^2x+hx^2+2h^2x+h^3=$$$$ x^3+3hx^2+3h^2x+h^3$$

Hay formas más rápidas de hacerlo -el teorema del binomio, por ejemplo-, pero he pensado que la escritura a mano podría ayudarte a ver un poco mejor lo que está pasando. Otro punto de vista: En

$$(x+h)^3=(x+h)(x+h)(x+h)$$ El eventual plazo en $h$ puede obtener el $h-$ factor de cualquiera de los tres paréntesis - de ahí el factor $3$ . Sólo hay una manera de tomar un $x$ de cada paréntesis, por lo que el coeficiente de $x^3$ es $1$ .

Answer 2

Algo raro debería haberte saltado cuando escribiste:

$$\color{blue}{\bf(a+b)^3} = (a+b)(a^2-ab+b^2) = \color{blue}{\bf a^3 + b^3}\;\;?$$

Así como $(a +b)^2 \neq a^2 + b^2$ También es cierto que $(a+b)^3 \neq a^3 + b^3$ .

¿Qué ha fallado? ¡La diferencia de cubos no se aplica aquí!

Más bien, $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3.$ Puedes confirmar que esto es así ampliando los factores: $$(a + b)^3 = (a+b)(a+b)^2 = (a+b)(a^2 + 2ab + b^2) \cdots$$

Answer 3

No sé de dónde sacas " $a^2-ab+b^2$ " de. Sólo hay que utilizar la distributividad para realizar las multiplicaciones a mano: \begin{align} (a+b)^2 &= (a+b)(a+b) = a(a+b)+b(a+b) \\&= a^2+ab+ba+b^2 = a^2+2ab+b^2 \end{align} Así, \begin{align} (a+b)^3 &= (a+b)(a+b)^2 = (a+b)(a^2+2ab+b^2) = a(a^2+2ab+b^2)+b(a^2+2ab+b^2) \\&= a^3+2a^2 b+ab^2 + ba^2 + 2ab^2+b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3. \end{align}

Answer 4

$$(a+b)^3 \neq a^3 + b^3$$

por ejemplo para $a=1$ y $b=1$ se obtiene $(a+b)^3=(1+1)^3=2^3=8 \neq 2 = 1^3 + 1^3 = a^3 + b^3$

Para evaluar $(a+b)^n$ se puede utilizar la propiedad del El triángulo de Pascal

en su caso:

$$(a+b)^3 = (a+b)*(a+b)*(a+b)=(a^2 + ab + ab + b^2) * (a+b)=$$

$$(a^2 + 2ab + b^2)* (a+b) = a^3 + a^2b + 2a^2b + 2ab^2 + b^2a+ b^3 = $$

$$1a^2 + 3a^2b + 3ab^2 + 1b^3$$

Puedes mirar el triángulo de Pascal en la línea 4 (donde tienes $n = 3$ ) y ver cuál es el coeficiente de tu polinomio expandido. Verás que son exactamente $1,3,3,1$

Es decir, para $n=4$ , línea $5$ Tenemos los coeficientes $1,4,6,4,1$ y de hecho $(a+b)^4 = 1a^4 + 4 a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + 1b^4$