Hace $\sum^{\infty}_{n=2}\frac{n\pi}{(\ln (n))^2}$ ¿convergen o divergen?

Question

Necesito ayuda con los deberes de cálculo.

$$\sum^{\infty}_{n=2}\frac{n\pi}{(\ln (n))^2}$$

Intenté la prueba de comparación, comparándolo con:

$$\sum^{\infty}_{n=2}\frac{1}{(\ln(n))^2}$$

pero no me lleva a ninguna parte.

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Una pista: Los términos no tienen límite $0$ por lo que no podemos tener convergencia. Recordemos que si $\sum_m^\infty a_k$ existe, entonces $\lim_{k\to\infty} a_k=0$ . (Lo contrario falla).

Observación: Se puede pensar en lo anterior como un caso especial de Comparación. La serie $1+1+1+\cdots$ obviamente diverge. No es difícil demostrar que si $n$ es lo suficientemente grande (y en realidad no tiene que serlo) tenemos $\frac{ n\pi}{(\ln n)^2}\gt 1$ .

Answer 2

Prueba con Prueba de condensación :

$$2^n\frac{2^n\pi}{\log^2(2^n)}=\frac{2^{2n}\pi}{n^2\log^2 n}$$

como la secuencia de la derecha ni siquiera converge a cero, su serie no converge y, por tanto, tampoco nuestra serie.

Answer 3

Creo que se puede utilizar una simple prueba de comparación para esto. $\log n < n$ para n grande
$ \frac{1}{\log^2 n} > \frac{1}{n^2} $
$ \frac{n\pi} {\log^2n} > \frac{n\pi} {n^2} = \frac{\pi}{n} $
Desde $1/n$ es una serie armónica divergente, $\frac{n\pi} {\log^2n}$ diverge en comparación.

Alternativamente, encontremos el límite del enésimo término como $n\to\infty$ . $\lim_{n\to\infty}\frac{n\pi}{(\log n)^2}$ Podemos aplicar la regla de L'hopitals ya que ésta es de la forma $\infty/\infty$ : Obtenemos $\lim \frac{n\pi}{2\log n} = \lim n\pi/2 = \infty$

Está claro que esta serie es divergente.