Si $f(x) = g(x)h(x)$ y $f(x)$ tiene una valoración no negativa, entonces $g(x)$ y $h(x)$ también tienen una valoración no negativa

Question

Estoy atascado en el siguiente ejercicio:

Dejemos que $v$ sea una valoración sobre $K$ y $f, g, h$ polinomios mónicos en $K[x]$ con $f(x) = g(x)h(x)$ . Si $f \in R_v[x]$ entonces $g$ y $h$ están en $R_v[x]$ .

Mi intento hasta ahora es: Desde $f \in R_v$ tenemos $v(f) \ge 0$ y como $f$ es mónico tenemos $v(f) = v(1) = 0$ . Ahora probablemente deberíamos usar eso tanto $g$ y $h$ son mónicas también, para concluir probablemente que $v(g) = v(h) = 0$ pero no veo cómo.

¿Podría ayudarme?

A continuación puede encontrar todas las definiciones e información relevante que conozco sobre las valoraciones hasta el momento:

En la clase aprendí la siguiente definición de valoración: Sea $(K,+,\cdot)$ sea un campo y que $(G,+)$ sea un grupo totalmente ordenado. Un mapa $v: K \longrightarrow G\cup\{\infty\}$ es una valoración si se cumplen las siguientes propiedades:

• $v(ab) = v(a)+v(b)$
• $v(a+b) \ge \min\{v(a),v(b)\}$
• $v(a) = \infty \iff a = 0$

A continuación, demostramos las propiedades básicas:

1. $v(1) = 0$
2. $v(a^{-1}) = -v(a)$
3. $v(-a) = v(a)$
4. $v(a - b) \ge \min\{v(a), v(b)\}$
5. $ \text{If }v(a) \ne v(b), \text{ then } v(a+b) = \min\{v(a), v(b)\}$

Dejemos que $v$ sea una valoración en un campo $K$ . Para $f = \sum_{i=0}^n a_ix^i \in K[X]$ nosotros definimos $v(f) = \min \{v(a_i) \mid 0 \le i \le n\}$ . Vemos que para $f,g \in K[x]$ tiene

$$v(fg) = v(f) + v(g).$$ Y finalmente definimos $R_v := \{k \in K \mid v(k) \ge 0\}$ .

Answer 1

Desde $g,h$ son mónicas tenemos $v(g)\le 0$ y $v(h)\le 0$ Así que $v(gh)=v(g)+v(h)\le 0$ . Pero sabemos que $v(gh)=v(f)=0$ y por lo tanto $v(g)=v(h)=0$ .