Demostrar que el valor esperado no existe

Question

Sea X una variable aleatoria uniforme en [0,1], y sea $Y=\tan\left (\pi \left(x-\frac{1}{2}\right)\right)$ . Calcula E(Y) si existe.

Tras investigar un poco este problema, he descubierto que Y tiene una distribución de Cauchy (aunque no sé cómo demostrarlo); por tanto, E(Y) no existe.

Además, sé que si puedo demostrar que la integral impropia no converge absolutamente, es decir, que $\int_{-\infty}^{\infty}|\tan\left(\pi\left(x-\frac{1}{2}\right)\right|dx$ diverge - puedo demostrar que E(Y) no existe.

El problema es que no sé cómo evaluar esta integral. ¿Podría alguien aclararme cómo hacerlo? Gracias de antemano.

Answer 1

$-\pi^{-1}\ln\cos\pi\left(x-\frac{1}{2}\right)$ sirve como primitivo de $\tan\pi\left(x-\frac{1}{2}\right)$ en $\left(0,1\right)$

Answer 2

Mi intuición sería, ya que $\tan$ es una función periódica, se puede considerar primero un solo ciclo. (En este caso, tal vez $x\in(0,1)$ .) Al tener un número infinito de ciclos, se puede deducir que la integral diverge.