Utilizaré la notación de Zygmund: dejemos que $\phi(u)$ y $\psi(v)$ sean funciones continuas estrictamente crecientes sobre los números reales no negativos tales que $\phi(0)=\psi(0)=0$ y $\phi$ y $\psi$ son inversos. Lo que se demostrará es que $$ab\le\Phi(a)+\Psi(b)$$ donde $$\Phi(x)=\int_0^x\phi(u)~du\qquad\Psi(y)=\int_0^y\psi(v)~dv$$ y $a$ y $b$ son no negativos, y que la igualdad se mantiene si y sólo si $b=\phi(a)$ .
El primer paso es mostrar $$\Phi(x)+\Psi(\phi(x))-x\phi(x)\leq\Phi(x)+\Psi(y)-xy,$$ donde la igualdad se mantiene si y sólo si $y=\phi(x)$ . Supongamos que $y < \phi(x)$ . Desde $\psi$ es la inversa de $\phi$ y una función estrictamente creciente, $\psi(v) < x$ cuando $y < v < \phi(x)$ . Así que $$\Psi(\phi(x))-\Psi(y) = \int_y^{\phi(x)}\psi(v)~dv < \int_y^{\phi(x)}x~dv=x(\phi(x)-y).$$ El caso $y > \phi(x)$ tiene una prueba análoga.
El segundo paso es mostrar $$\Phi(x)+\Psi(\phi(x))-x\phi(x)=0.$$ Esto se cumple trivialmente cuando $x=0$ . Lo que sigue es la demostración de que el lado izquierdo es diferenciable y que su derivada desaparece idénticamente. Sea $f(x)$ sea la función de la izquierda, y que $x_0$ y $x_1$ sean números no negativos con $x_0 < x_1$ y que $y_0$ y $y_1$ sea $\phi(x_0)$ y $\phi(x_1)$ respectivamente. Sumando y restando $x_0y_1$ y la refactorización, $$f(x_1)-f(x_0)=\int_{x_0}^{x_1}\phi(u)-y_1~du+\int_{y_0}^{y_1}\psi(v)-x_0~dv.$$ Dejemos que $I_0$ y $I_1$ sean las integrales de la derecha, respectivamente. Consideraciones similares a las realizadas en el primer paso dan como resultado $$-(x_1-x_0)(y_1-y_0)\le I_0\le0\le I_1\le(x_1-x_0)(y_1-y_0).$$ Por lo tanto, $$\Bigl|\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}\Bigr|\le|\phi(x_1)-\phi(x_0)|.$$ Evidentemente, esta desigualdad se mantiene incluso cuando el supuesto $x_0 < x_1$ es eliminado.
Desde $\phi(u)$ es continua, $f(x)$ es diferenciable y $f'(x)=0$ . Esto completa la prueba.
