Espacios métricos homeomórficos con terminaciones no homeomórficas

Question

Intento demostrar que los espacios métricos homeomórficos no tienen por qué tener terminaciones homeomórficas.

Mi idea era encontrar dos espacios métricos homeomórficos con uno totalmente acotado y el otro no. Entonces la terminación de la métrica totalmente acotada será compacta, y la otra terminación no será compacta.

Me cuesta encontrar ejemplos concretos.

Answer 1

Resumiendo los comentarios, y algunos más:

$X=\Bbb R$ se tiene a sí mismo como su terminación, mientras que $Y=(0,1)\simeq X$ tiene $[0,1]$ como su finalización. $\overline{Y}$ es compacto mientras que $X$ no lo es.

$X=(0,+\infty)$ tiene $\overline{X}=[0,+\infty)$ como su terminación, no compacta; mientras que $[0,1)= Y \simeq X$ tiene $[0,1]$ como su terminación, compacta.

$X=\Bbb Q$ tiene $\Bbb R$ como su terminación, mientras que $Y$ : todos los puntos finales del conjunto estándar del tercio medio de Cantor $0,1,\frac13,\frac23,\ldots$ son homeomórficos a $\Bbb Q$ (teorema estándar) y $Y$ es el conjunto de Cantor. (Muy desconectado, a diferencia de los reales).

Como generalización del último ejemplo: dejemos que $X'$ y $Y'$ sean espacios métricos completos separables (también conocidos como espacios polacos) sin puntos aislados y $X$ y $Y$ sean subconjuntos densos contables de $X'$ resp. $Y'$ . Entonces como espacios métricos contables sin puntos aislados $X$ y $Y$ son homeomórficos y al ser densos en un espacio polaco el espacio circundante $X'$ resp. $Y'$ es la terminación resp., y son no-homogéneas. Podemos tomar $X'=\Bbb R^n$ para diferentes $n$ Por ejemplo