Problema de velocidad relacionado (el valor absoluto de su aceleración debe ser al menos 4.)

Question

Si una partícula que se mueve en la línea euclidiana recorre la distancia 1 en el tiempo 1 empezando y terminando en reposo, entonces en algún momento t [0, 1], el valor absoluto de su aceleración debe ser al menos 4.

Entonces, la función de distancia f(t) es continua, diferenciable, y f(0)=0, f(1)=1. Y $\cfrac{d}{dt}f(0)=0$ y $\cfrac{d}{dt}f(1)=0$ . Necesito usar el cálculo (cualquier herramienta) para resolver esto, Estoy confundido, por favor dame una pista para proceder.

Answer 1

Debería haber una solución más elegante, pero supongo que esto también funciona. Ya que $f$ es continua, $f(0)=0$ y $f(1)=1$ el teorema del valor intermedio nos da una $t_0 \in [0,1]$ tal que $f(t_0) = \frac{1}{2}.$

Ahora consideramos dos casos, a saber $t_0 \leq \frac{1}{2}$ et $t_0 \geq \frac{1}{2}.$ (Sólo trataré el primero, ya que el argumento del segundo es casi idéntico).

El teorema del valor medio nos proporciona una $t_1 \in [0, t_0],$ para que $$ \vert f'(t_1) \vert = \left\vert \frac{f(t_0)-f(0)}{t_0-0} \right\vert = \frac{\vert 1/2 - 0 \vert}{|t_0|} \geq \frac{1/2}{1/2} = 1. $$

Ahora volvemos a dividirnos en dos casos, a saber $t_1 \leq \frac{t_0}{2}$ et $t_1 \geq \frac{t_0}{2}$ . (De nuevo, sólo trataré la primera).

Utilizando el teorema del valor medio una vez más, encontramos un $t_2 \in [0,t_1],$ para que $$ \vert f''(t_2) \vert = \left\vert \frac{f'(t_1)-f'(0)}{t_1-0} \right\vert = \frac{\vert 1 - 0 \vert}{\vert t_1 \vert} \geq \frac{1}{|t_0|/2} = \frac{2}{t_0} \geq \frac{2}{1/2} = 4,$$ que debía ser probado.

Dejo el resto de casos como ejercicio. La única diferencia debería ser la forma de establecer los intervalos para el teorema del valor medio.