Teoría de la probabilidad : La lógica de la ciencia Ecuación 6.16

Question

He estado leyendo 'Probability Theory : The Logic of Science' de E. T. Jaynes y tengo problemas para entender la ecuación 6.16 del libro.

En concreto, dado el problema de sacar de una urna sin reposición, la ecuación establece que:

\begin{align} \sum\limits_{R=0}^N \binom{R}{r} \binom{N-R}{n-r} &= \binom{N+1}{n+1} \end{align}

Cuando se les da una urna con bolas rojas y blancas, $N$ es el número total de bolas, $R$ es el número total de bolas rojas, $n$ es el número de bolas que extraemos sin reemplazo, y de ellas $r$ es el número de bolas rojas extraídas.

Parece que no puedo derivar esta ecuación por mí mismo. Cualquier ayuda sería muy apreciada :)

Answer 1

Ambos lados de la ecuación cuentan las formas de elegir $n+1$ elementos de un conjunto de $N+1$ elementos (digamos, $\{0,\ldots,N\}$ ). Este es claramente el caso del lado derecho. Para el lado izquierdo, primero hay que elegir $R$ como el $(r+1)$ -elemento, entonces elige el $r$ elementos más pequeños del $R$ elementos menores que $R$ y, a continuación, elija el $n-r$ mayores elementos de la $N-R$ elementos mayores que $R$ .