Valores propios más pequeños de la suma de dos matrices positivas

Question

Dejemos que $C = A + B$ , donde $A$ , $B$ et $C$ son matrices definidas positivas. Además, $C$ es fijo. Sea $\lambda (A)$ , $\lambda (B)$ et $\lambda (C)$ sean los valores propios más pequeños de $A$ , $B$ et $C$ respectivamente. ¿Existe algún resultado sobre los valores propios más pequeños de $C$ en comparación con la suma de los valores propios más pequeños de $A$ y $B$ ? ¿Es cierto que : $\lambda (A)$ + $\lambda (B)$ < $\lambda (C)$ ? Además, ¿cuál es el menor valor posible de $\lambda (A)$ + $\lambda (B)$ dada una cantidad fija de $C$ ¿Y en qué condiciones ocurre esto? Muchas gracias.

Xuan

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Pregunta sobre $\lambda_{min} (A+B) > \lambda_{min} (A) + \lambda_{min} (B)$ se puede ver a partir de la desigualdad de Weyl.

La pregunta que queda es sobre el menor valor alcanzable de $\lambda_{min} (A) + \lambda_{min} (B)$ dada una cantidad fija de $C$ ?

Answer 1

Si $S$ es una matriz real simétrica, entonces el mínimo valor propio de $S$ , $\lambda_{\min}(S)$ viene dada por $$\lambda_{\min}(S)=\min_{x\neq 0}\frac{x^tSx}{x^tx}.$$ De hecho, no es difícil ver que cuando $S$ es diagonal, y en el caso general se diagonaliza $S$ en una base ortonormal.

Por las propiedades de $\min$ Esto da como resultado $\lambda_{\min}(A+B)\geq \lambda_{\min}(A)+\lambda_{\min}(B)$ . Además, si tenemos la igualdad $\frac{x^tSx}{x^tx}$ es para un vector propio de $\lambda_{\min}$ por lo que tenemos igualdad si $A$ y $B$ tienen un vector propio común.

Answer 2

Respondo a la segunda parte de la pregunta. Para $n=1$ la respuesta es $\lambda_{min}(C)$ . Para $n > 1$ la respuesta es, $\lambda_{min}(A) + \lambda_{min}(B)$ puede estar arbitrariamente cerca de $0$ .

Desde $C$ es una matriz simétrica definida positiva, consideramos la descomposición del valor singular de $C$ . $$C = \sum_{i=1}^n \lambda_i v_i v_i^T,$$ donde $0 < \lambda_1 \leq \dots \leq \lambda_n$ son valores propios de $C$ et $v_1, \dots, v_n$ es una base ortonormal. Para un valor suficientemente pequeño $\varepsilon > 0$ , dejemos que $$\begin{align*} A &= (1-\varepsilon) \lambda_1 v_1 v_1^T + \varepsilon\lambda_2 v_2 v_2^T + \frac{1}{2}\sum_{i=3}^n \lambda_i v_i v_i^T,\\ B &= \varepsilon \lambda_1 v_1 v_1^T + (1-\varepsilon)\lambda_2 v_2 v_2^T + \frac{1}{2}\sum_{i=3}^n \lambda_i v_i v_i^T. \end{align*}$$

Ahora $A+B=C$ , $A$ y $B$ son positivas definidas, y $$\lambda_{min}(A) + \lambda_{min}(B) \leq 2\varepsilon,$$ que puede estar arbitrariamente cerca de $0$ .