Estimaciones de Strichartz para la ecuación de Schrödinger

Question

Las estimaciones de Strichartz sin punto final para la ecuación de Schrödinger (lineal): $$ \|e^{i t \Delta/2} u_0 \|_{L^q_t L^r_x(\mathbb{R}\times \mathbb{R}^d)} \lesssim \|u_0\|_{L^2_x(\mathbb{R}^d)} $$ $$ 2 \leq q,r \leq \infty,\;\frac{2}{q}+\frac{d}{r} = \frac{d}{2},\; (q,r,d) \neq (2,\infty,2),\; q\neq 2 $$ se obtienen fácilmente utilizando (principalmente) la desigualdad de Hardy-Littlewood-Sobolev, el caso del punto final $q = 2$ es, sin embargo, mucho más difícil (véase Keel-Tao por ejemplo).

Jugando con la transformada de Fourier uno ve que las estimaciones para el operador de restricción a veces dan estimaciones similares a las de Strichartz. Por ejemplo, el teorema de restricción de Tomas-Stein para el paraboloide da: $$ \|e^{i t \Delta/2} u_0\|_{L^{2(d+2)/d}_t L^{2(d+2)/d}_x} \lesssim \|u_0\|_{L^2_x}, $$ que, interpolando con el límite fácil $$ \|e^{i t \Delta/2} u_0\|_{L^{\infty}_t L^{2}_x} \lesssim \|u_0\|_{L^2_x}, $$ da precisamente la desigualdad de Strichartz pero restringida al rango $$ 2 \leq r \leq 2\frac{d+2}{d} \leq q \leq \infty. $$

Hasta donde yo sé, el teorema de Tomas-Stein (para todo el paraboloide) da la estimación de la restricción $R_S^*(q'\to p')$ para $q' = \bigl(\frac{dp'}{d+2}\bigr)'$ (este $q$ es diferente de la anterior), por lo que supongo que no se puede reforzar (?).

Así que mi pregunta es: ¿cuál es la intuición de lo que falla al tratar de demostrar las estimaciones de Strichartz hasta los puntos finales utilizando sólo la teoría de la restricción de Fourier?

Answer 1

Desde mi punto de vista poco experto (¿dónde está Terry cuando se le necesita?), una posible razón parece ser la siguiente (yo no lo llamaría algo que va mal o incluso una dificultad):

El declaración de las estimaciones de restricción sólo le dan estimaciones cuando el lado izquierdo es un espacio isotrópico de Lebesgue en el sentido de que se obtiene una estimación $L^q_tL^r_x$ con $q = r$ . Esto naturalmente excluye el punto final, que requiere $r > q$ .

¿Por qué? La razón es que los teoremas de restricción sólo se preocupan por la geometría local de la hipersuperficie, y no por su geometría global. (Por ejemplo, las versiones dadas en el libro de Stein Análisis armónico requiere que la hipersuperficie tenga una curvatura gaussiana no evanescente para una versión más débil, o que la hipersuperficie sea de tipo finito para una versión ligeramente más fuerte. Ambas condiciones son suposiciones sobre la geometría de la hipersuperficie localmente como un gráfico sobre un plano tangente). Ahora, en cada pieza local, se hacer tienen algo más parecido a las estimaciones dispersivas clásicas con $r > q$ que se deriva utilizando el método de las integrales oscilantes (véase, por ejemplo, el capítulo IX del libro de Stein; la estimación dispersiva (15) [que tiene, moralmente hablando $q = r = \infty$ pero con un peso "en $t$ ", por lo que en realidad implica algo con $q < \infty$ ) se utiliza para demostrar el Teorema 1, que a su vez se utiliza para derivar el teorema de la restricción). Pero una vez que se intenta juntar las distintas estimaciones "locales" para obtener una estimación sobre la función completa, no se tiene ninguna garantía de cuál es la "dirección normal" sobre toda la superficie. (La dirección normal, en el caso de la aplicación a las EDP, es la dirección del conjugado de Fourier de la variable "tiempo"). Así que en el contexto del teorema de la restricción, lo más natural es escribir el teorema utilizando la $q = r$ ya que en el contexto más general de los teoremas de restricción, no hay garantía de que se tenga una dirección globalmente preferida $t$ .

(Nótese que la contribución de Keel-Tao es no en la elección de esa dirección temporal: que las estimaciones de Strichartz pueden obtenerse a partir de la interpolación de una desigualdad dispersiva y de la conservación de la energía es bien conocido, y bastantes de los casos sin punto final ya están disponibles como consecuencias intermedias de la demostración de los teoremas de restricción. La principal contribución es un método de interpolación refinado para escoger los exponentes del punto final).