La siguiente es una pregunta muy popular (en las oposiciones) en la India:
Calcule el valor de $S=\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \tan^{-1}\left( \dfrac1{2k^2}\right)$ .
Puedo calcular el valor escribiendo $$ \tan^{-1}\left( \dfrac1{2k^2}\right) = \tan^{-1} (2k+1) - \tan^{-1} (2k-1).$$
La suma telescópica da $S =\dfrac{\pi}4$ .
Sin embargo, esta pregunta figuraba en el capítulo titulado Números complejos . Quería saber si había un enfoque de "números complejos" para este problema.
Mis intentos son los siguientes:
1) Puedo forzar una prueba de números complejos (motivada por la suma trigonométrica inversa telescópica) mirando el producto infinito donde el $k$ El término es $$\dfrac{1+i(2k+1)}{1+i(2k-1)}$$ que no parece natural.
2) Otro enfoque es utilizar $$\displaystyle \sin z = z\prod_{k=1}^{\infty} \left(1-\dfrac{z^2}{k^2 \pi^2}\right). $$ Sustituyendo $$\displaystyle z = \dfrac{(1-i)\pi}{2},$$ obtenemos $$\dfrac{\sin z}{z}= \prod_{k=1}^{\infty} \left(1+\dfrac{i}{2k^2}\right)=P.$$ Observa que el ángulo del número complejo $P$ es $S$ (la suma infinita requerida).
Se puede demostrar que $\dfrac{\sin z}{z} = \left(\dfrac{e^\frac{\pi}{2}+e^{-\frac{\pi}{2}}}{2 \pi}\right)\cdot (1+i).$
Dado que las partes real e imaginaria de $P$ son iguales, el ángulo del número complejo $P$ es $\frac{\pi}{4}$ .
¿Existe una solución simple de números complejos para esta serie?
