¿Por qué no basta con comprobar sólo la tercera condición al verificar la igualdad de las funciones?

Question

Me han dicho que dos funciones $f$ y $g$ son iguales si y sólo si el dominio y el subconjunto del producto cartesiano de las dos funciones es el mismo. Mi pregunta es, dado que una función es un caso especial de una relación, tanto $f$ y $g$ son conjuntos, ¿por qué no basta con verificar si el producto cartesiano es el mismo entre las dos funciones? En otras palabras, ¿la tercera condición no implica que ambos dominios sean iguales?

Answer 1

Una función $f:X\to Y$ consta de tres datos: el dominio $X$ el codominio $Y$ y el gráfico $G_f\subseteq X\times Y$ . Así que, formalmente, tiene sentido definir una función no sólo como su gráfico, sino como la tupla $(X,Y,G_f)$ y dos funciones $f=(X,Y,G_f)$ y $g=(V,W,G_g)$ son iguales si $X=V$ , $Y=W$ y $G_f=G_g$ . Es decir, dos funciones son iguales si sus dominios, codominios y gráficos son iguales. Pero el dominio lo obtenemos gratuitamente comprobando las gráficas, ya que las gráficas contienen un par $(x,f(x))$ por cada $x\in X$ para que podamos extraer el dominio del gráfico. Así que sólo tenemos que comprobar el gráfico y el codominio, pero no el dominio.

Answer 2

En los fundamentos de las matemáticas, especialmente en los de la teoría de conjuntos, una función no es más que un cierto tipo de conjunto de pares ordenados, del que se puede extraer fácilmente su dominio y su rango, y no existe el codominio de una función. Dos funciones son iguales exactamente cuando son el mismo conjunto, lo que equivale a cuando tienen el mismo dominio y la misma salida en cada entrada del dominio.

Este comportamiento es muy importante cuando se quiere construir los fundamentos de las matemáticas, especialmente en una demostración adecuada de un teorema de recursión básico y para una prueba adecuada del teorema de recursión completo . En tales pruebas, se pegan aproximaciones de una función deseada simplemente tomando la unión, y no hay necesidad ni beneficio en requerir que las funciones tengan "codominios" en tales fundamentos.

Así que si realmente quieres entender cómo se construye todo en base a ZFC, efectivamente para que dos funciones sean iguales basta con que sean el mismo conjunto de pares ordenados, ya que implica que sus dominios son iguales.

En cuanto a las discusiones que la gente está teniendo en otros comentarios, sólo diré que es en realidad terminología estándar para decir " $f$ se proyecta sobre $T$ " cuando se quiere ser coherente con los fundamentos de la teoría de conjuntos, ya que " $f$ es una suryección" no tiene sentido en este contexto. Fundamentalmente, " $f : S→T$ " significa simplemente que $f$ es una función con dominio $S$ cuyo rango es un subconjunto de $T$ .

En la práctica, las personas que no tienen una formación en fundamentos de las matemáticas tienden a significar no sólo eso, sino también que $f$ está "etiquetado" con un codominio $T$ . Fundamentalmente, tendríamos que representar dicha "función etiquetada" mediante algo así como un par $(f,T)$ . Por otra parte, diría que incluso estas personas son a menudo inconsistentes con su notación, porque frecuentemente definen funciones sin especificar un codominio, y también consideran cualquier función de $ℕ$ a $ℝ^+$ como también una función de $ℕ$ a $ℝ$ .

Answer 3

$\DeclareMathOperator{dom}{dom}$ Sí, tienes razón. Lo que el teorema debería decir es:

Si $\dom(f) = \dom(g) \wedge \forall x \in \dom(f).\, f(x) = g(x)$ entonces $f = g$ .

Puede parecer redundante, pero la razón por la que tenemos este teorema es que en la práctica así es como demostramos la igualdad de las funciones. Podríamos demostrar que $\forall x \in \dom(f).\, f(x) = g(x)$ y $\forall x \in \dom(g).\,f(x) = g(x)$ pero eso es el doble de trabajo sin obtener ningún conocimiento.