Entender lo que se entiende por "Integrabilidad" con respecto a la Cima de Euler

Question

Estoy leyendo Sistemas discretos e integrabilidad de F.W. Nijhoff, J. Hietarinta y N. Joshi. Actualmente, estoy investigando el capítulo 6 y, en particular, la cima de Euler. El libro dice lo siguiente:

Hay varias propiedades asociadas a la integrabilidad de los mapas, por ejemplo, la existencia de un número suficiente de conservantes cantidades conservadas, simetrías, par de Lax y el comportamiento alrededor de singularidades.

El libro define entonces un tipo de Integrabilidad

Un sistema con $2N$ -se denomina espacio de fase de dimensión Louiville Integrable si hay $N$ cantidades conservadas

La cima de Euler viene dada por

$$ \begin{cases} \overset{\cdot}{x}_1 = \alpha_1 x_2 x_3, \\ \overset{\cdot}{x}_2 = \alpha_2 x_{3}x_{1}, \\ \overset{\cdot}{x}_3 = \alpha_3 x_{1}x_{2}. \end{cases} $$

donde $\alpha_{1,2,3}$ son parámetros reales. Este es uno de los sistemas integrables más famosos de la mecánica clásica. La función $H(x) = \gamma_1 x_1^2 + \gamma_2 x_2^2 + \gamma_3 x_3^2$ es una integral (¿cantidad conservada?) para el sistema anterior $\iff \gamma \perp \alpha$ .

En particular, hay $3$ integrales de movimiento (cantidades conservadas) del sistema donde sólo dos de ellas son independientes:

$$H_1 = \alpha_2 x_3^2 - \alpha_3 x_2^2, \; H_2 = \alpha_3 x_1^2 - \alpha_1 x_3^2 , \; H_3 = \alpha_1 x_2^2 - \alpha_2 x_1^2$$

Esto es lo que sé. La dimensión de la cima de Euler es $3$ porque hay tres variables independientes $x_1, x_2, x_3$ . Hemos encontrado $2$ cantidades conservadas independientes. Como la dimensión del sistema es $3$ entonces esto no se ajusta a la definición de la Integrabilidad de Louiville.

Entonces, ¿con qué definición el tope de Euler se llama integrable?

Answer 1

Los sistemas hamiltonianos pueden definirse en cualquier variedad en la que exista un corchete de Poisson (algo que satsifica los axiomas dados en la sección 6.1.1 del libro al que te has referido). No tiene que ser un $2N$ -y el corchete de Poisson no tiene que estar dado por la fórmula clásica $$ \{ F,G \} = \sum \left( \frac{\partial F}{\partial q_j} \frac{\partial G}{\partial p_j} - \frac{\partial F}{\partial p_j} \frac{\partial G}{\partial q_j} \right) . $$ En el caso de las ecuaciones de cuerpo rígido de Euler sin fuerzas externas, que suelen escribirse $$ \begin{aligned} \dot x_1 = \left( \frac{1}{I_3} - \frac{1}{I_2} \right) x_2 x_3, \\ \dot x_2 = \left( \frac{1}{I_1} - \frac{1}{I_3} \right) x_1 x_3, \\ \dot x_3 = \left( \frac{1}{I_2} - \frac{1}{I_1} \right) x_1 x_2, \end{aligned} $$ donde $(x_1,x_2,x_3)=(I_1 \omega_1,I_2 \omega_2,I_3 \omega_3)$ , el espacio de fase es $\mathbf{R}^3$ y el corchete de Poisson es $$ \{ F,G \} = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial F}{\partial x_1} & \dfrac{\partial F}{\partial x_2} & \dfrac{\partial F}{\partial x_3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -x_3 & x_2 \\ x_3 & 0 & -x_1 \\ -x_2 & x_1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \partial G / \partial x_1 \\ \partial G / \partial x_2 \\ \partial G / \partial x_3 \end{pmatrix} . $$ La matriz del medio se llama matriz de Poisson, y el hecho de que ésta sea realmente un soporte de Poisson (en particular que se satisfaga la identidad de Jacobi) tiene que ver con el álgebra de Lie $\mathfrak{so}(3)$ .

La cima de Euler es un sistema hamiltoniano (con respecto a esta estructura de Poisson) ya que se puede escribir como $$ \frac{d}{dt} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -x_3 & x_2 \\ x_3 & 0 & -x_1 \\ -x_2 & x_1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \partial H / \partial x_1 \\ \partial H / \partial x_2 \\ \partial H / \partial x_3 \end{pmatrix} , $$ con la función hamiltoniana $$ H(x_1,x_2,x_3) = \frac12 \left( \frac{x_1^2}{I_1} + \frac{x_2^2}{I_2} + \frac{x_3^2}{I_3} \right) . $$ Esto hace que automáticamente $H$ una constante de movimiento.

Y además, $C=x_1^2+x_2^2+x_3^2$ es otra constante del movimiento. Es una de las llamadas Función Casimir lo que significa que es constante para cualquier sistema de la forma hamiltoniana anterior, sin importar la función hamiltoniana $H$ es (por lo que es algo que sólo está relacionado con la estructura de Poisson particular que tenemos aquí). Y resulta que se puede restringir la estructura de Poisson a cada conjunto de niveles de $C$ (en este caso esferas alrededor del origen, y excluyamos el conjunto de nivel excepcional que consiste sólo en el origen), de modo que cada esfera se convierte en una variedad simpléctica, que es el escenario de los sistemas hamiltonianos clásicos. Y el sistema se puede restringir a un sistema en cualquier "hoja simpléctica" particular, como se llaman estas esferas, y se pueden introducir coordenadas $(q,p)$ de manera que el sistema se parezca a un sistema hamiltoniano clásico (en este caso $2N$ -con $N=1$ ). Y cualquier sistema de este tipo es integrable de Liouville, ya que tiene el número correcto de constantes de movimiento: una (a saber, la función hamiltoniana, la restricción de $H$ a la esfera).

Por supuesto, esto es sólo un breve resumen. En el capítulo 6 de la obra de Peter Olver se describe más detalladamente su funcionamiento en general. Aplicaciones de los grupos de Lie a las ecuaciones diferenciales .