Que el $f(z)$ sea analítico y $\vert f(z) \vert \leq \vert \sin({1\over z})\vert$ en $\mathbb{C}^\# (= \mathbb{C} \setminus \{0\})$ [No hay más información sobre el $f$ ]
Poner $f(\frac{1}{z}) =g(z)$
En la nota de mi conferencia, dijo $h(z)$ es una función completa mediante la definición de una nueva función $h$ (Aquí el $n\in \mathbb{Z}$ )
$$h(z) = \begin{cases} g(z) \over \sin z & \text{$z \neq n\pi$} \\ \lim\limits_{z \to n\pi} \frac{g(z)}{\sin z} & \text{$z = n\pi$} \end{cases}$$
Y sacó la conclusión de que $h$ es una constante en $\mathbb{C}$ (Por Liouville thm)
Pero tengo una duda sobre su solución. Permítame sugerir por qué pienso así. Al menos he sabido, para reclamar el $h$ es un entero (o aplicando el thm de Riemann), $\frac{g}{\sin z}$ debería tener una singularidad extraíble en $0$ . Entonces, debido a la $z=0$ es un cero para $\sin z$ , $g$ sí es analítico o extraíble en $0$ . Pero el desde $g$ es una analítica en $\mathbb{C}^\#$ Esta función es desmontable en $z = 0$ . Pero no podemos estar seguros de cuál es el tipo de singularidad en $0$ para $g(z)$ . Por ejemplo, si el $g(z)$ tiene una singularidad esencial en $0$ entonces $0$ no es removible para $g \over \sin z$ .(Supongo que el $\frac{g(z)}{\sin z}$ tiene la singularidad esencial en $0$ no podemos definir los límites en $0$ ) Por lo tanto, no podemos aplicar el thm de Riemann para $0$ en ese caso.(Es decir $h$ puede tener una singularidad en $0$ [No completo] )
¿Es correcto mi pensamiento? ¿O su solución es correcta?
Gracias.
