Si $ x+iy = \sqrt{\frac{a+ib}{c+id} } ,$ Demuestra que $ (x^2+y^2)^2 = \frac {a^2+b^2}{c^2+d^2} $

Question

$ x+iy = \sqrt{\frac{a+ib}{c+id} } , $ Demostrar que $ ({x^2+y^2})^2 = \frac {a^2+b^2}{c^2+d^2} $

¿Cómo lo hago? Intenté elevar al cuadrado ambos lados pero la expansión x+iy se vuelve difícil al elevar al cuadrado la próxima vez.

Answer 1

$$x^2+y^2=|x+iy|^2=\left|\sqrt{\frac{a+ib}{c+id}}\right|^2=\left|\frac{a+ib}{c+id}\right|$$

Por lo tanto,

$$(x^2+y^2)^2=\frac{|a+ib|^2}{|c+id|^2}=\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}$$

Answer 2

Observe, cuando $q\space\wedge\space s\space\wedge\space z\in\mathbb{C}$ por lo que establecemos $q=x+yi,s=a+bi,z=c+di$ :

• $$\left(x^2+y^2\right)^2=\left(\Re^2[q]+\Im^2[q]\right)^2=|q|^4$$
• $$a^2+b^2=\Re^2[s]+\Im^2[s]=|s|^2$$
• $$c^2+d^2=\Re^2[z]+\Im^2[z]=|z|^2$$

Así que:

$$x+yi=\sqrt{\frac{a+bi}{c+di}}\Longleftrightarrow q=\sqrt{\frac{s}{z}}$$

Ahora, podemos encontrar el valor absoluto:

$$\left|q\right|=\left|\sqrt{\frac{s}{z}}\right|\Longleftrightarrow$$ $$\left|q\right|=\left|\left(\frac{s}{z}\right)^{\frac{1}{2}}\right|\Longleftrightarrow$$ $$\left|q\right|=\left|\frac{s}{z}\right|^{\frac{1}{2}}\Longleftrightarrow$$ $$\left|q\right|=\left(\frac{\left|s\right|}{\left|z\right|}\right)^{\frac{1}{2}}\Longleftrightarrow$$ $$\left|q\right|^4=\left(\frac{\left|s\right|}{\left|z\right|}\right)^2\Longleftrightarrow$$ $$\left|q\right|^4=\frac{\left|s\right|^2}{\left|z\right|^2}$$