Sé que esto es un duplicado de Supongamos que $ H\leqslant G $ demostrar que si $ (H, G')=\langle e \rangle $ entonces $ (H', G)=\langle e \rangle $ . pero la única respuesta que no utiliza el Lemma de los Tres Subgrupos (que, a estas alturas, Hungerford no ha cubierto) no tenía sentido para mí, y como mi reputación aún es baja, no puedo dejar un comentario pidiendo una aclaración. La solución dada es la siguiente:
"Por el ejercicio anterior del libro, por $h,kH$ y $gG$ tenemos $[hk,g]=h[k,g]h^{1}[h,g]=[k,g][h,g],$ porque $(H,G)=1$ (Escribo 1 para e y también para e.)
Tenemos que demostrar que $[[h,k],g]=1$ . Tenemos $$[[h,k],g]=[hkh^{1}k^{1},g]=[k^{1},g][h^{1},g][k,g][h,g]=[k,g]^{1}[h,g]^{1}[k,g][h,g].$$
Ahora, utilizando $(H,G)=1$ de nuevo, tenemos $h^{1}[k,g]h=[k,g]$ y $hg^{1}[k,g]gh^{1}=g^{1}[k,g]g,$ y así
$$[k,g]^{1}[h,g]^{1}[k,g][h,g]=[k,g]^{1}ghg^{1}h^{1}[k,g]hgh^{1}g^{1}=[k,g]^{1}[k,g]=1$$ según sea necesario".
El problema que tengo con esta prueba es que parece que utilizan $(H',G)=1$ que es lo que estamos tratando de probar; tenemos que $(H,G')=1$ y estamos tratando de probar $(H',G)=1$ Así que me parece que no debemos asumir eso en nuestra prueba. ¿Me estoy perdiendo algo? Si no es así, y esta prueba no es válida, ¿podría alguien proporcionar una prueba válida de esto (sin referirse al Lemma de los Tres Subgrupos)?
