Necesito encontrar una prueba estadística adecuada (prueba de razón de verosimilitud, prueba t, etc.) sobre lo siguiente: Sea $\{X_i;Y_i\}^n_{i=1}$ sea una muestra i.i.d. de un vector aleatorio $(X;Y)$ y asumir que $\bigl( \begin{smallmatrix} Y\\ X \end{smallmatrix} \bigr)$ ~ $N$ $\left[\bigl( \begin{smallmatrix} \mu_1\\ \mu_2 \end{smallmatrix} \bigr), \bigl( \begin{smallmatrix} 1 & .5\\ .5 & 1 \end{smallmatrix} \bigr) \right]$ . Las hipótesis son: $H_0=\mu_1+\mu_2\le 1$ ; $H_1=\mu_1+\mu_2\gt 1$
Teniendo en cuenta esta información, ¿cómo puedo saber qué prueba es la más adecuada? ¿Es porque los datos son i.i.d. que puedo simplemente tomar una prueba de razón de verosimilitud? Una buena explicación sobre qué prueba es más apropiada que otra sería muy apreciada. Esto me aclararía definitivamente la mente.
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¿Se ha dado cuenta de que $X+Y\sim N(\mu_1+\mu_2, 3)$ et $X-Y\sim N(\mu_1-\mu_2, 1)$ no están correlacionadas y son conjuntamente normales, por lo que son independientes? De este modo, se puede descomponer el conjunto de datos en $\{(X_i+Y_i)\}$ La pregunta es cómo comparar la media de la distribución normal con cero. Este es un problema elemental de libro de texto con una respuesta bien conocida (una prueba Z).
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@whuber ¡Gracias! Lo investigaré con más detenimiento. Gracias por la información.
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@whuber lo que me resulta difícil es que me enfrento a una prueba de hipótesis compuesta y no sé cómo configurar esto es para arriba. cualquier sugerencia sería bienvenida
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@whuber también porque me enfrento a un caso multivariable que lo hace más difícil no?
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También tengo que usar primero una prueba de razón de verosimilitudes... ahí es donde estoy teniendo dificultades para una prueba de razón de verosimilitudes bajo un sistema compuesto
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Mi observación inicial reduce su problema a uno univariado: $X-Y$ es irrelevante. La prueba Z es una prueba LR.
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@whuber de acuerdo pero firme debo hacer algo similar a esto: stat.sc.edu/~habing/courses/703/GLRTExample.pdf y derivar con respecto a $\mu_1$ et $\mu_2$ .
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¿Estás diciendo que en realidad es una pregunta de deberes y que en realidad no tienes ningún interés en el examen en sí?
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@whuber es una pregunta del examen de práctica del año anterior - así que sí no el examen en sí
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@whuber ¿No debería el $X-Y$ distribución han $\mu_1-\mu_2$ como su media? Me doy cuenta de que no tiene importancia para este problema, pero me preocupa ver el error tipográfico ahí.
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@Glen_b Gracias: buenos ojos. Lo he arreglado y he pillado una errata por tu parte, también :-).