Problema de integración de Riemann: $f(x)=\frac{1}{n}$ para $\frac1n>x\geq \frac{1}{n+1}$ .

Question

Problema de integración de Riemann: $f$ se define en $[0,1]$ por $\,f(x)=1/n$ para $1/n>x\geq 1/(n+1)$ y $f(x)=0$ para $x=0$ , donde $n=1,2,3,....$

Encuentre $\int_{0}^1f(x)dx$ .

Primero traté de averiguar $\int_{1/(n+1)}^1f(x)dx$ . Pero tengo una suma de serie: $$\sum_{k=1}^{n}\cfrac{1}{k^2(k+1)}$$

¿Cómo proceder?

Answer 1

Desde $(0,1) = \bigcup_{n=1}^{\infty} ( \frac1{n+1} , \frac1{n })$ . (unión disjunta por pares)

$$\int_{0}^1f(x)dx = \sum_{n=1}^{ \infty} \int_{1/n+1}^{1/n}f(x)dx = \sum_{n=1}^{ \infty} \int_{1/n+1}^{1/n}\frac1ndx=\sum_{n=1}^{ \infty} \frac1{n^2 }- \frac1{(n+1)n}= \frac{\pi^2}{6}-1 $$

Dado que $ \frac1{(n+1)n}= \frac1{n}- \frac1{n+1}$ entonces $$\sum_{n=1}^{ \infty} \frac1{(n+1)n}=\sum_{n=1}^{ \infty} (\frac1{n}- \frac1{n+1})=1$$