Problema de ecuación exponencial

Question

$$2^{x-3}=\frac{1}{x}$$

Hasta ahora, sólo he conseguido resolverlo gráficamente. Me preguntaba si hay algún otro método disponible. Conozco el $\ln$ método por supuesto.

Answer 1

Como el lado izquierdo es positivo, $x$ debe ser positivo.

El problema es equivalente a $$x2^x=8$$ Obsérvese que el producto de la función positiva creciente es creciente y por lo tanto tiene una solución única.

$$x2^x=2^3=2(2^2)$$

Por lo tanto, $2$ es la única solución.

Answer 2

Un enfoque no iterativo es utilizar Función W de Lambert .

$$\begin{align} &2^{x-3}=\frac{1}{x}\\ \implies &x2^x=8 \\ \implies&xe^{x\ln 2}=8 \\ \implies&x\ln2\cdot e^{x\ln 2}=8\ln2 \\ \implies&x=\frac{W(8\ln2)}{\ln2} \\ \text{(Thanks}&\text{ to projectilemotion for the following:)} \\ \implies&x=\frac{W(4\ln4)}{\ln2} \text{ (Using identity: } W(x\ln x) = \ln x)\\ \implies&x=\frac{\ln4}{\ln2} = 2\\ \end{align}$$

Answer 3

El otro método obvio es la bisección: encontrar un valor para el que el lado izquierdo sea menor que el derecho, un valor para el que sea mayor, y luego comprobar el punto medio. Repite.

Por supuesto, un primer paso es adivinar y probar algunos enteros; así lo hice y encontré $x = 2$ en mi tercer intento (después de haber comprobado $x = 1, 3$ porque eran algebraicamente muy fáciles).