Condiciones de contorno para la viga vibrante

Question

Estoy resolviendo la ecuación de las vibraciones transversales de una viga Euler-Bernoulli fijada en ambos extremos y sometida a una carga axial ( según este diagrama ). Es un problema similar al descrito por Rao en la página 355 de su excelente libro "Vibration of Continuous Systems" ( Enlace a los libros de Google ), salvo que el ejemplo que utiliza es para una viga simplemente apoyada.

La solución general adopta la forma de $y(x) = C_1\cosh(\alpha x) + C_2\sinh(\alpha x) + C_3\cos(\beta x) + C_4\sin(\beta x)$ , donde $C_1$ , $C_2$ , $C_3$ & $C_4$ son las constantes que necesito encontrar. Los BC son estándar:

• $y(0)=y(L) = 0$ (desplazamiento cero en los extremos)
• $y'(0)=y'(L) = 0$ (gradiente cero en los extremos)

Cuando los sustituyo en el $y(0)$ y $y'(0)$ condiciones dan $C_1 + C_3 = 0$ y $\alpha C_2 + \beta C_4 = 0$ respectivamente, mientras que el $y(L)$ y $y'(L)$ las condiciones dan:

1) $C_1\cosh(\alpha L) + C_2\sinh(\alpha L) + C_3\cos(\beta L) + C_4\sin(\beta L) = 0$

2) $\alpha C_1\sinh(\alpha L) + \alpha C_2\cosh(\alpha L) – \beta C_3\sin(\beta L) + \beta C_4\cos(\beta L) = 0$

Es evidente que las 2 primeras condiciones pueden utilizarse para reducir estas dos últimas ecuaciones a funciones de $C_1$ y $C_2$ sólo:

3) $C_1[\cosh(\alpha L) - \cos(\beta L)] + C_2\left[\sinh(\alpha L) - \frac{\alpha}{ \beta}\sin(\beta L)\right] = 0$

4) $C_1[\alpha C_1\sinh(\alpha L) + \beta \sin(\beta L)] + C_2[\beta \cosh(\alpha L) - \alpha \cos(\beta L)] = 0$

Ahora podemos resolver para $C_1$ (o $C_2$ ) y utilizarlo para escribir todos los términos de la ecuación de gobierno original en términos de ella sola. Sin embargo, hay dos expresiones posibles para $C_1$ (y $C_2$ ), dependiendo de la ecuación que se utilice. 3) da:

$C_2 = -C_1\frac{[\cosh(\alpha L) - \cos(\beta L)]}{[\sinh(\alpha L) - (\alpha /\beta )\sin(\beta L)]}$

mientras que 4) da:

$C_2 = -C_1\frac{[\alpha C_1\sinh(\alpha L) + \beta \sin(\beta L)]}{[\beta \cosh(\alpha L) - \alpha \cos(\beta L)]}$

Son claramente diferentes, pero ¿son ambas correctas? ¿Cuál debería utilizarse?

Muchas gracias de antemano por su ayuda, será muy apreciada.

Answer 1

Si la viga está fijada en ambos extremos y sometida a cargas axiales, habría No hay deformación.