En la imagen de $\mathbb{R}$ bajo toda una $f$ satisfaciendo $f(n^{\frac{1}{n}})\in\mathbb{R}$ .

Question

Supongamos que $f$ está completo en $\mathbb{C}$ y $f(n^{\frac{1}{n}})\in\mathbb{R}$ . Demuestre entonces que $f(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}$ .

¿Alguna sugerencia sobre cómo empezar este problema? Gracias.

Answer 1

Considere la función $g(z) = \overline{f(\bar z)} - f(z)$ . Demuestre primero que $g$ es entero. Entonces demuestre que $g(z) = 0$ . Pista: no hay nada especial en $n^{1/n}$ excepto que es una secuencia real que converge.