Construir el modelo de papel en $\mathbb{R}^2$

Question

Estoy estudiando el libro de Peterson de geometría riemanniana y me da una métrica:

$$g = dt^2 + a^2t^2d\theta^2$$

y me pide que identifique cuáles son los espacios al cambiar $a$ .

Nunca esperé algo así, ¿cómo puedo pensar en este problema?

Answer 1

Si $0 < a$ la métrica $$ g = dt^{2} + a^{2} t^{2}\, d\theta^{2},\qquad 0 < t,\quad 0 \leq \theta \leq 2\pi, $$ es plana, y representa un cono si $0 < a < 1$ un plano si $a = 1$ o un "cono de silla" (¿término no estándar?) si $1 < a$ .

Cada una de estas métricas se incrusta de forma isométrica en la euclidiana $3$ -y el espacio de las incrustaciones isométricas es de dimensión infinita: Elige una curva suave, incrustada y de velocidad constante $\gamma$ de longitud $2\pi a$ en la esfera unitaria, y definir $$ \phi(t, \theta) = t\gamma(\theta). $$ Desde $\phi_{t} = \gamma$ se encuentra en la esfera unitaria y $\phi_{\theta} = t\gamma'$ es tangente a la esfera y tiene velocidad constante $a$ las componentes de la métrica inducida son $$ E = 1,\qquad F = 0,\qquad G = t^{2} \|\gamma'\|^{2} = a^{2} t^{2}. $$