Encontrar la solución general de $xy''+y'+xy=0$ utilizando la reducción de orden.

Question

Utilice la reducción de orden para demostrar que la solución general de $$xy''+y'+xy=0$$ puede escribirse como $$y=c_1J_0(x)+c_2J_0(x) \int^x_1 \frac{1}{s[J_0(x)]^2} ds.$$ Demuestre que si $c_2 \neq 0, y \approx c_2 \ln(x)$ como $x \rightarrow 0^+.$

Notas: Primero tenemos que transformar la EDO original en la EDO de Bessel $x^2y''+xy'+x^2y=0$ . Como $J_0(x)$ (una función de Bessel de orden 0 del primer tipo) es una solución de la EDO de Bessel podemos escribirla como la segunda solución como \begin{align*} y_2&=J_0(x)u(x) \\ y'_2&=J_0'(x)u(x)+J_0(x)u'(x) \\ y''_2 &=J_0^{\prime\prime}u+2J_0^\prime u^\prime+J_0u^{\prime\prime} \end{align*} Se puede sustituir en $x^2y''+xy'+x^2y=0$ para encontrar el valor de $u(x)$

A partir de ahí mis principales problemas son encontrar $J_0'(x)$ y $J_0''(x)$ así como encontrar la integral definida $\int^x_1 \frac{1}{s[J_0(x)]^2} ds$ . Cómo la reducción de orden da una integral definida para $u(x)$ ?

Answer 1

Tenga en cuenta que no es necesario encontrar $J_0^\prime$ o $J_0^{\prime\prime}$ para encontrar $u$ y la forma $\int_0^x\dfrac{1}{sJ_0(s)}\,ds$ no es más que una forma de escribir explícitamente la integral indefinida en función de $x$ . Esencialmente significa lo mismo que $\int\dfrac{1}{xJ_0}\,dx$ .

\begin{eqnarray} y_2&=&J_0u\\ y_2^\prime&=&J_0^\prime u+J_0u^\prime\\ y_2^{\prime\prime}&=&J_0^{\prime\prime}u+2J_0^\prime u^\prime+J_0u^{\prime\prime} \end{eqnarray}

\begin{equation} x^2y_2^{\prime\prime}+xy_2^\prime+x^2y_2=0 \end{equation}

\begin{equation} x^2\left(J_0^{\prime\prime}u+2J_0^\prime u^\prime+J_0u^{\prime\prime}\right)+x\left(J_0^\prime u+J_0u^\prime\right)+x^2u=0 \end{equation} \begin{equation} (x^2J_0^{\prime\prime}+xJ_0^\prime+x^2J_0)u+x^2(2J_0^\prime u^\prime+J_0u^{\prime\prime})+xJ_0u^\prime=0 \end{equation}

Pero

\begin{equation} x^2J_0^{\prime\prime}+xJ_0^\prime+x^2J_0=0 \end{equation}

Así que

\begin{equation} x^2(2J_0^\prime u^\prime+J_0u^{\prime\prime})+xJ_0u^\prime=0 \tag{1} \end{equation}

Sustituir $v=J_0u^\prime$ . Entonces $v^\prime=J_0^\prime u^\prime+J_0y^{\prime\prime}$ y $u^\prime=\dfrac{V}{J_0}$ .

Así que la ecuación ( $1$ ) puede reescribirse como

\begin{eqnarray} x^2\left(\dfrac{J_0^\prime}{J_0}v+v^\prime\right)+xV&=&0\\ x^2v^\prime+\left(x+x^2\cdot\dfrac{J_0^\prime}{J_0}\right)v&=&0\\ v^\prime+\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{J_0^\prime}{J_0}\right)v&=&0 \end{eqnarray}

que tiene un factor integrador $\mu=xJ_0$ dando $u^\prime J_0=\dfrac{1}{xJ_0}$ para que

\begin{equation} u=\int\dfrac{1}{xJ_0^2}\,dx \end{equation}