A descomposición de una función $f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$ es una suma de productos de funciones de un solo valor: $f(x,y)=\sum_{i=1}^n u_i(x)\cdot v_i(y)$ . Si una función tiene al menos una descomposición, se denomina descomponible; en caso contrario, no es descomponible.
Es sencillo demostrar que las sumas y los productos de las funciones descomponibles son igualmente descomponibles. No conozco ningún caso específico de no descomponible funciones, pero mi intuición es que existen y que la mayoría de las funciones no son descomponibles.
Pregunta . Me gustaría saber: dado $f\cdot g$ es descomponible y $g$ es descomponible, [cuando] es $f$ ¿descomponible?
Si eso es difícil, agradecería cualquier resultado adicional sobre cuándo los productos y las sumas que implican funciones no descomponibles pueden dar lugar a descomponible funciones.
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Hasta ahora, mi intuición es que las funciones descomponibles y las no descomponibles tendrán propiedades de cierre aritmético similares a las de los números racionales e irracionales.
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He estado buscando una función demostrablemente indescomponible, además de funciones como $x^y$ He pensado en utilizar una secuencia infinita de funciones linealmente independientes, porque he demostrado que si una función tiene una descomposición, tiene una descomposición mínima donde todas las $u_i$ son linealmente independientes y todas las $v_i$ son linealmente independientes. Si una función fuera de alguna manera una suma irreduciblemente infinita de pares $u_iv_i$ donde el $u_i$ son todos linealmente independientes al igual que los $v_i$ no sería descomponible.
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También he estado buscando en los espacios de funciones donde viven estas funciones y sus descomposiciones. Basándome en lo que he aprendido, creo que el espacio de funciones descomponibles es el espacio tensorial $\mathscr{F}_X \otimes \mathscr{F}_Y$ que consiste en combinaciones lineales de pares de funciones de $x$ y de $y$ y esto se puede incrustar en el espacio vectorial $\mathscr{F}_{X\times Y}$ de funciones de dos variables. Pero aún no he encontrado la forma de demostrar mi resultado deseado argumentando en general sobre espacios vectoriales/tensores.