Si $f\cdot g$ es descomponible y $g$ es descomponible, es $f$ ¿descomponible?

Question

A descomposición de una función $f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$ es una suma de productos de funciones de un solo valor: $f(x,y)=\sum_{i=1}^n u_i(x)\cdot v_i(y)$ . Si una función tiene al menos una descomposición, se denomina descomponible; en caso contrario, no es descomponible.

Es sencillo demostrar que las sumas y los productos de las funciones descomponibles son igualmente descomponibles. No conozco ningún caso específico de no descomponible funciones, pero mi intuición es que existen y que la mayoría de las funciones no son descomponibles.

Pregunta . Me gustaría saber: dado $f\cdot g$ es descomponible y $g$ es descomponible, [cuando] es $f$ ¿descomponible?

Si eso es difícil, agradecería cualquier resultado adicional sobre cuándo los productos y las sumas que implican funciones no descomponibles pueden dar lugar a descomponible funciones.

• Hasta ahora, mi intuición es que las funciones descomponibles y las no descomponibles tendrán propiedades de cierre aritmético similares a las de los números racionales e irracionales.

• He estado buscando una función demostrablemente indescomponible, además de funciones como $x^y$ He pensado en utilizar una secuencia infinita de funciones linealmente independientes, porque he demostrado que si una función tiene una descomposición, tiene una descomposición mínima donde todas las $u_i$ son linealmente independientes y todas las $v_i$ son linealmente independientes. Si una función fuera de alguna manera una suma irreduciblemente infinita de pares $u_iv_i$ donde el $u_i$ son todos linealmente independientes al igual que los $v_i$ no sería descomponible.

• También he estado buscando en los espacios de funciones donde viven estas funciones y sus descomposiciones. Basándome en lo que he aprendido, creo que el espacio de funciones descomponibles es el espacio tensorial $\mathscr{F}_X \otimes \mathscr{F}_Y$ que consiste en combinaciones lineales de pares de funciones de $x$ y de $y$ y esto se puede incrustar en el espacio vectorial $\mathscr{F}_{X\times Y}$ de funciones de dos variables. Pero aún no he encontrado la forma de demostrar mi resultado deseado argumentando en general sobre espacios vectoriales/tensores.

Answer 1

No esperaría ningún criterio simple. Ciertamente, dado que $f\cdot g$ y $g$ son descomponibles, $f$ por lo general no ser descomponible. Por ejemplo, consideremos el caso $fg=1$ Así que usted está preguntando: si $g$ es descomponible y en ninguna parte $0$ es $1/g$ ¿descomponible? Escribir $g_x(y)=g(x,y)$ entonces $g$ es descomponible si el tramo de las funciones $g_x$ es de dimensión finita. Así que estás preguntando, si tienes alguna colección finita de funciones $v_1,\dots,v_n$ y se considera un conjunto de funciones formadas por la toma de recíprocos de diferentes combinaciones lineales del $v_i$ ¿tendrá ese conjunto de funciones una extensión finita? No hay ninguna razón para esperar que así sea. Por ejemplo, las funciones $$y\mapsto\frac{1}{a+y}$$ son todos linealmente independientes como $a\in\mathbb{R}$ varía. Este ejemplo no funciona literalmente en este contexto porque estas funciones no están definidas en todos los $\mathbb{R}$ pero, por ejemplo, se podrían considerar igualmente funciones de la forma $$y\mapsto\frac{1}{a+y^2}$$ donde $a>0$ . Estas infinitas funciones son todas linealmente independientes (por ejemplo, considerando sus polos al continuar analíticamente hasta $\mathbb{C}$ ), a pesar de que son recíprocos de funciones que se encuentran entre dos funciones diferentes.

Explícitamente, siguiendo estas ideas, podría tomar $g(x,y)=1+x^2+y^2$ y $f(x,y)=\frac{1}{1+x^2+y^2}$ . Entonces $g$ es descomponible y en ninguna parte $0$ y también lo es $fg=1$ pero $f$ no es descomponible.

Una analogía mejor que los números racionales e irracionales sería que las funciones descomponibles y no descomponibles son como los números enteros y los números reales no enteros. A veces un cociente de dos números enteros es un número entero, pero normalmente no lo es, y no va a haber ninguna forma más sencilla de decir cuándo lo es. De forma más abstracta, las funciones descomponibles forman un subring del anillo de todas las funciones, y no esperaría que tuvieran propiedades de cierre especialmente buenas.