Ejemplo concreto de cálculo de $\ell$ -cohomología de los ádicos

Question

Dejemos que $p$ y $\ell$ sean números primos distintos.

Consideremos en el plano afín $\mathbb{A}^2_{\mathbb{F}_p}$ con coordenadas $(x,y)$ la unión $L$ de los ejes $x = 0$ y $y = 0$ .

¿Cómo se calcula el $\ell$ -grupos de cohomología adicaica con soporte compacto $H^i_c(L,\mathbb{Q}_\ell)$ ? Pensé que tenía alguna idea de lo que $\ell$ -la cohomología de los ádicos es, pero ni siquiera logro hacer este ejemplo...

Answer 1

(1) Todo lo que necesitamos saber para hacer el cálculo es que la cohomología con soporte compacto $H^*_c$ (con valores en $K$ -vectoriales) satisface las siguientes propiedades:

• (Secuencia de localización) Si $i: Z \hookrightarrow X$ es una inmersión cerrada y $j:U\hookrightarrow X$ la inmersión abierta complementaria, entonces para cualquier gajo $F$ tenemos una larga secuencia exacta $$ \to H^{i}_c(U) \to H^{i}_c(X) \to H^{i}_c(Z) \to H^{i+1}_c(U) \to $$
• (Cohomología del espacio afín) $ H^{i}_c(\mathbb{A}^n) = \begin{cases} K & if~ i=2n \cr 0 & else \end{cases} $

(2) Ahora podemos jugar con las secuencias largas exactas

Escribir la secuencia de localización para $\mathbb{A}^1 = \{0\} \coprod \mathbb{G}_m$ se encuentra $ H^{i}_c(\mathbb{G}_m) = \begin{cases} K & if~ i=1,2 \cr 0 & else \end{cases} $ Esto es dual a $H^{2-i}(\mathbb{G}_m)$ como se esperaba.

Entonces la secuencia de localización para $L = \mathbb{A}^1 \coprod \mathbb{G}_m$ se reduce a
$$ 0\to H^{0}_c(L) \to 0 \to K \to H^{1}_c(L) \to 0 \to K \to H^{2}_c(L) \to K \to 0 $$ así que $ H^{i}_c(L) = \begin{cases} K & if~ i=1 \cr K^2 & if~ i=2 \cr 0 & else \end{cases} $

(3) Debería añadir unas palabras sobre la secuencia de localización. Para cualquier inmersión $j: U\hookrightarrow X$ tenemos 3 functores sobre las vainas

• el functor de restricción $j^*$
• su adjunto derecho: la imagen directa clásica $j_*$
• la extensión por cero $j_!$ .

Hechos (ver las notas de la conferencia de J.S. Milne, por ejemplo):

• $j_!$ es siempre exacta
• Si $j$ es una inmersión cerrada, entonces $j_! = j_*$ .
• Si $i: Z \hookrightarrow X$ es una inmersión cerrada y $j:U\hookrightarrow X$ la inmersión abierta complementaria, entonces para cualquier gajo $F$ tenemos una secuencia exacta $$ 0 \to j_!j^*F \to F \to i_*i^*F \to 0 $$

Ahora bien, si la variedad $X$ no es adecuado, siempre se puede encontrar una inmersión abierta densa $u:X\hookrightarrow \overline{X}$ en una variedad propia. Desde $u_!$ es exacta, que $u_!i_* = u_!i_! = (ui)_!$ y aplicando $H^*(\overline{X},-)$ obtenemos una larga secuencia exacta $$ \to H^{i}_c(U,j^*F) \to H^{i}_c(X,F) \to H^{i}_c(Z,i^*F) \to H^{i+1}_c(U,j^*F) \to $$

Para el cálculo $H^*_c(\mathbb{A}^n)$ se reduce a la de $H^*_c(\mathbb{P}^n)$ por la secuencia de localización. Pero como $\mathbb{P}^n$ es adecuado, tenemos $H^{*}_c(\mathbb{P}^n) = H^*(\mathbb{P}^n) = K[h]/(h^{n+1})$ donde $h$ es la clase de cualquier hiperplano y tiene grado 2. Además, el morfismo $\mathbb{P}^n \hookrightarrow \mathbb{P}^{n+1}$ induce la proyección natural.