función de la clase $C^r$

Question

Dejemos que $f,g: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ tal que $g(x,y)=f(x,y)+(f(x,y))^5$ . Si $f$ es continua y $g$ es la clase $C^r$ , demuestran que $f$ es una función de la clase $C^r$ y calcular $df/dx$ .

Answer 1

La función $\phi:t \mapsto t+t^5$ para $t \in \mathbb R$ es monótonamente creciente, por lo que es invertible. También es suave ( $C^\infty$ ), y por el teorema de la función inversa $\phi^{-1}$ también es suave.

Ahora bien, como $g=\phi \circ f$ tenemos $f= \phi^{-1} \circ g$ que es la composición de dos $C^r$ funciones (de hecho la primera es incluso $C^\infty$ como se ha mencionado anteriormente). La regla de la cadena muestra que $f$ es de la clase $C^r$ también.

En cuanto a $\frac{df}{dx}$ , diferenciar ambos lados con respecto a $x$

$$\frac{\partial g}{\partial x}= \frac{\partial f}{\partial x}+5f^4 \frac{\partial f}{\partial x},$$ y esta ecuación se puede resolver fácilmente.