Caracterización de las nuevas formas en función del cuadrado simétrico asociado $L$ -la función tiene un polo

Question

Tengo una pregunta directa. Dejemos que $f$ sea una forma cúspide holomorfa de peso $k$ , nivel $N$ y nebentypus $\chi$ que es nuevo en el sentido de la teoría Atkin-Lehner. Escribe su expansión de Fourier en $\infty$ como $$f(z) = \sum_{n=1}^\infty \lambda_f(n)n^{(k-1)/2}e(nz)$$ y formar el $L$ -función $L(f,s)$ por la serie de Dirichlet $$L(f,s)=\sum_{n=1}^\infty \frac{\lambda_f(n)}{n^s}$$ para $\Re(s)>1$ . Entonces $L(f,s)$ se puede continuar con una función completa en $\mathbf{C}$ y, por la normalización anterior de los coeficientes de Fourier, obedece a una ecuación funcional que relaciona $s$ a $1-s$ . Sea $\alpha,\beta$ sean los parámetros de Satake asociados a $f$ es decir $$L(s,f) = \prod_p \left(1-\frac{\alpha(p)}{p^s}\right)^{-1}\left(1-\frac{\beta(p)}{p^s}\right)^{-1}$$ y luego definir el cuadrado simétrico $L$ -función $L(\operatorname{sym}^2f,s)$ asociado a $L(f,s)$ por $$L(\operatorname{sym}^2f,s) := \prod_p (1-\alpha(p)^2p^{-s})^{-1}(1-\alpha(p)\beta(p)p^{-s})^{-1} (1-\beta(p)^2p^{-s})^{-1}.$$ Mi pregunta es, ¿cuándo es exactamente $L(\operatorname{sym}^2f,s)$ entero, y si no está entero, ¿qué polos puede tener?

Las páginas 136-137 del libro de Iwaniec-Kowalski parecen responder a esta pregunta. Sabemos que $L(\operatorname{sym}^2f,s)$ factores como $$L(\operatorname{sym}^2f,s) = L(f\otimes f,s)L(s,\chi)^{-1},$$ donde la convolución Rankin-Selberg $L(f\otimes f,s)$ tiene un polo simple en $s=1$ si $f$ es autodual ( $f=\overline f$ ) y está entero en caso contrario. $L(s,\chi)$ tiene un polo simple en $s=1$ si $\chi$ es principal. Por lo tanto, entiendo que $L(\operatorname{sym}^2f,s)$ está completo a menos que $f$ es autodual con carácter no principal. Esto puede ocurrir si $f$ es una "forma CM" que surge de un grössencaracter de Hecke; véase https://mathoverflow.net/a/164126/37110 para los detalles. En el caso especial de que $f$ tiene coeficientes de Fourier reales y $\chi$ no es principal, $L(\operatorname{sym}^2f,s)$ tiene un polo simple en $s=1$ .

¿Es correcto lo que he entendido? ¿Está completo? Gracias de antemano.

Answer 1

Sí, su interpretación es correcta. Aquí hay un poco más de detalle. Si $f$ es una forma CM, $f$ está asociado a un carácter de Hecke Grössencharacter $\xi$ . Si $k \geq 2$ entonces $\xi$ se asocia a un campo cuadrático imaginario y entonces $\xi$ es un homomorfismo $\xi : I(\Lambda) \to \mathbb{C}^{\times}$ es un homomorfismo del grupo de todos los ideales fraccionarios coprimo al módulo $\Lambda$ y satisface $\xi(\alpha \mathcal{O}_{K}) = \alpha^{k-1}$ , siempre y cuando $\alpha \equiv 1 \pmod{\Lambda}$ .

Dejemos que $\omega_{\xi}(n) = \xi\left(n \mathcal{O}_{K}\right)/n^{k-1}$ . Esta función es un carácter Dirichlet, y la forma modular correspondiente a $\xi$ que es $$ f(z) = \sum_{\mathfrak{a} \subseteq \mathcal{O_{K}}} \xi(\mathfrak{a}) q^{N(\mathfrak{a})}, q = e^{2 \pi i z} $$ tiene Nebentypus $\chi = \chi_{K} \omega_{\xi}$ , donde $\chi_{K}$ es el carácter de Kronecker asociado a $K$ .

Ahora, la potencia simétrica $L$ -funciones de $L(s,\xi)$ como productos de grado $1$ y el grado $2$ $L$ -funciones. En particular, $L({\rm Sym}^{2} f, s) = L(s, \xi^{2}) L(s, \omega_{\xi})$ . Autodualidad de $f$ es (por la pregunta que enlazaste) equivalente a la afirmación de que $\chi_{K} = \chi$ y por lo tanto $\omega_{\xi}$ es el carácter trivial, lo que demuestra que $\zeta(s)$ es un factor de $L({\rm Sym}^{2} f, s)$ y así $L({\rm Sym}^{2} f, s)$ tiene un poste.

Por otro lado, si $f$ es una forma CM con carácter trivial, entonces $\omega_{\xi} = \chi_{K}$ . Entonces, la primera potencia simétrica $L$ -función con un polo es $$ L({\rm Sym}^{4} f, s) = L(s, \xi^{4}) L(s, \xi^{2} \otimes \omega_{\xi}) L(s, \omega_{\xi}^{2}). $$