Determina la transformada de Laplace dada:

Question

¿Cómo puede realizar la siguiente transformación? $$\begin{equation} \mathscr{L}\left\{\int_{0}^{t}\frac{e^{-3t}\sin(2t)}{t}\,dt\right\} \end{equation} $$ No estoy seguro de cómo utilizar la convolución.

Answer 1

HINT

$$ \mathcal{L}\left(\int_0^t f(x)dx\right)(s) = \frac{\mathcal L(f(t))(s)}{s}$$ (integración por partes) y también, $$\mathcal{L}\left(\frac{f(t)}{t}\right) = \int_s^\infty \mathcal{L}(f(t))(z)dz$$ y $$\mathcal{L}(e^{at}\sin(bt))$$ es estándar.

Answer 2

Si $a,b>0$ tenemos $$ \int_{0}^{+\infty}\frac{\sin(at)e^{-bt}}{t}\,dt=\arctan\frac{a}{b} \tag{1}$$ por lo que la transformada de Laplace de $\frac{\sin(2t)e^{-3t}}{t}$ viene dada por $\arctan\frac{2}{3+s}$ y la transformada de Laplace deseada viene dada por $\frac{1}{s}\arctan\frac{2}{3+s}$ . $(1)$ puede derivarse de $$ \int_{0}^{+\infty}\cos(at)e^{-bt}\,dt \stackrel{\text{IBP}}{=}\frac{b}{a^2+b^2}\tag{0} $$ integrando ambos lados con respecto a $a$ .