¿Cuáles son las tres formas diferentes de resolver este problema de probabilidad / combinatoria de dados

Question

Quería obtener la mayor cantidad de formas posibles para este problema, así que decidí pedir tres enfoques diferentes para este problema:

Un dado cúbico estándar se lanza cuatro veces, con los respectivos resultados a,b,c,d. ¿Cuál es la probabilidad de que $a\leq{b}\leq{c}\leq{d}$

Answer 1

Esta es una manera. Al lanzar el dado $n$ tiempos con resultados $X_1, \ldots, X_n$ , dejemos que $f_n(x)$ sea la probabilidad de que $x \le X_1 \le X_2 \le \ldots X_n$ . Al condicionar a $X_1$ Esto satisface la recurrencia $$f_{n}(x) = \dfrac{1}{6} \sum_{y=x}^6 f_{n-1}(y)$$ con condiciones iniciales $f_1(x) = P(X_1 \ge x) = \dfrac{7-x}{6}$ para $1 \le x \le 6$ .

Es fácil calcular $f_4(1) = \dfrac{7}{72}$ .

Answer 2

Dejemos que $X = \{1,2,3,4,5,6,l,m,b\}$ sea un conjunto.

El espacio de la muestra es $\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}^4$

$F = \{A \subset X | |A| = 4\}$ es el evento favorable. Aquí,

1) Dibujo $l$ con números representa el número más pequeño vino dos veces. Por ejemplo: dibujar $\{1,2,3,l\}$ representa el lanzamiento $1,1,2,3$ .

2) Dibujo $m$ con números representa el número del medio vino dos veces. Por ejemplo: dibujo $\{1,2,3,m\}$ representa el lanzamiento $1,2,2,3$ .

3) Dibujo $b$ con números representa el mayor número vino dos veces. Por ejemplo: el dibujo $\{1,2,3,b\}$ representa el lanzamiento $1,2,3,3$ .

4) Dibujo $l,m$ con números representa el caso de que el número más pequeño se repita tres veces. Por ejemplo: dibujar $\{1,2,l,m\}$ representa el lanzamiento $1,1,1,2$ .

5) Dibujo $b,m$ con números representa el caso de que el número mayor se repita tres veces. Por ejemplo: dibujar $\{1,2,b,m\}$ representa el lanzamiento $1,2,2,2$ .

6) Dibujo $l,b$ con números representa el caso de que ambos números se repitan dos veces. Por ejemplo: dibujar $\{1,2,l,b\}$ representa el lanzamiento $1,1,2,2$ .

7) Dibujo $l,b,m$ con un número representa el evento donde el número aparece todo el tiempo. Por ejemplo: dibujar $\{1,m,l,b\}$ representa el lanzamiento $1,1,1,1$ .

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Un poco de reflexión muestra que esto establece un mapa biyectivo entre este espacio muestral y los eventos reales y por lo tanto $|F| = \binom{9}{4}$ . Así,

$\Pr \{F\} = \dfrac{|F|}{|\Omega|} = \dfrac{126}{6^4} = \dfrac{7}{72}$

Answer 3

Cada vez que se arregla la 3ª en $k$ , usted tiene $1+2+...+k$ secuencias válidas en los 3 primeros dados. Cuando el 3er dado es $k$ , el 4º puede tener uno de los $6-k+1$ opciones.

Así que es

$\sum^6_{i=1}(7-i)i(i+1)/2$ , sumando un total de 126 secuencias válidas. Y la probabilidad de una secuencia es $(1/6)^4$ .