Déjalo, $V$ sea un subespacio vectorial de $\Bbb{R}^n$ . Demuestra que, $V$ es un conjunto cerrado en $\Bbb{R}^n$ con respecto a la métrica habitual.

Question

Déjalo, $\{u_1,u_2,\ldots,u_k\}$ sea una base para $V$ . Déjalo, $\{v_n\}$ sea una secuencia de vectores en $V$ tal que $v_j\to v$ donde $v\in\Bbb{R}^n$ . Mi objetivo es demostrar $v\in V$ .
Ahora, para cada $n\in\Bbb{N}$ , $v_j=\lambda_{1j}u_1+\lambda_{2j}u_{2}+\cdots+\lambda_{kj}u_{k}$ .
Desde $\{v_j\}$ converge en $\Bbb{R}^n$ es cauchy en $\mathbb{R}^n$ .
Ahora quiero decir las secuencias $\{\lambda_{1j}\},\{\lambda_{2j}\},\ldots,\{\lambda_{kj}\}$ son todos cauchy (por lo tanto convergentes) en $\Bbb{R}$ . Por lo tanto, que tomar $n\to\infty$ , obtendremos $v=\lim_{j\to\infty}\lambda_{1j}u_1+\lambda_{2j}u_{2}+\cdots+\lambda_{kj}u_{k}=\lambda_1 u_1+\lambda_2 u_2+\cdots+\lambda_k u_k\in V$ donde $\lambda_i=\lim_{j\to\infty}\lambda_{ij}$ .
Ahora, $|v_j-v_m|\le |\lambda_{1j}-\lambda_{1m}||u_1|+|\lambda_{2j}-\lambda_{2m}||u_2|+\cdots+|\lambda_{kj}-\lambda_{km}||u_k|$
$\le M(|\lambda_{1j}-\lambda_{1m}|+|\lambda_{2j}-\lambda_{2m}|+\cdots+|\lambda_{kj}-\lambda_{km}|)$ donde $M=max\{|u_i|\}$
Pero a partir de esto, no puedo decir cada $\{\lambda_{ij}\}$ es Cauchy. ¿Puede alguien completar la solución? Gracias por la ayuda de antemano.

Answer 1

Puede asumir $u_i$ son ortonormales, por el procedimiento de Gram-Schmidt. Extiende a una base ortonormal completa $u_1,\dots, u_n$ de $\mathbb R^n$ . Escriba $v=\sum_{i=1}^n \lambda_i u_i.$ Entonces, para cada $i> k$ , $$|\lambda_i| =|(v_j-v)\cdot u_i|\le |v_j - v|\xrightarrow[j\to\infty]{}0.$$ Por lo tanto, $v=\sum_{i=1}^k \lambda_i u_i$ es decir $v$ pertenece a $V$ .