Demuestre que para $f \in \mathbb Q[W,X]$ y $Q=f^G$ (el único resto), tenemos $f(W,X)=Q(WX,X^3)$ si $Q \in \mathbb Q[Y,Z]$ .

Question

Dejemos que $I = \langle WX-Y, X^3-Z \rangle \subset \mathbb Q[W,X,Y,Z]$ et $\le$ denotan el ordenamiento lexicográfico de los términos en $\mathbb N^4$ tal que $W > X > Y > Z$ .

Lo he demostrado:

i) El $S$ -polinomio: $S(WX-Y, X^3-Z) = X^2WX-X^2Y-WX^3+ZW = -YX^2+ZW$ ,

ii) $G=(WX-Y, WZ-YX^2, X^3-Z)$ es la base de Gröbner reducida para $I$ con respecto a $\le$ ,

iii) $Q=(W^2X^2+WX^4)^G = Y^2 + ZY \in \mathbb Q[Y,Z]$ es el único resto tras la división polinómica en varias variables por $G$ ,

iv) $Q \in \mathbb Q[Y,Z]$ (trivial),

v) $W^2X^2 + WX^4 = Q(WX,X^3)$

Para probar:

Sin embargo, debo demostrar que para $f \in \mathbb Q[W,X]$ y $Q^{'}=f^G$ (el único resto), tenemos $f(W,X)=Q^{'}(WX,X^3)$ si $Q^{'} \in \mathbb Q[Y,Z]$ .

Answer 1

Sólo tenemos que considerar el caso en el que $Q^{'}=f^G \in \mathbb Q[Y,Z]$ . Así, $f \in \mathbb Q[W,X]$ debe tener la forma $f=\sum_{i=m+n} a_iW^mX^n$ ya que cada término debe ser divisible por $WX$ o $X^3$ Si no es así, tenemos un remanente $\in \mathbb Q[W,X]$ y por lo tanto $f^G \notin \mathbb Q[Y,Z]$ .

Ahora empezamos dividiendo por $WX = in_{\le}(WX-Y)$ hasta que ningún término sea divisible por este divisor.

Tenemos las siguientes posibilidades para $a_iW^mX^n$ :

$m = n$ : multiplicar $WX-Y$ por $a_i(WX)^{m-1}$ para conseguir $a_1(WX)^m -a_i(WX)^{m-1}Y$ y restar esta cantidad a $f$ . Así pues, tenemos un nuevo término en $f$ , a saber $a_i(WX)^{m-1}Y$ que gradualmente se reduce a $a_iY^m$ y sustituyendo $WX$ para $Y$ tenemos $a_1(WX)^m$ .

$m > n$ Esto no es posible ya que las divisiones por $WX$ reducir gradualmente $a_iW^mX^n$ a $a_iW^{m-n}Y^n$ que no puede reducirse más y, por tanto, forma parte de $f^G$ Por lo tanto $f^G \notin \mathbb Q[Y,Z]$ .

$m < n$ : reducimos a $a_iX^{n-m}Y^m$ utilizando el argumento del caso $m=n$ .

Ahora sólo tenemos términos en $f$ de la forma $a_iX^n$ o $a_iX^{n-m}Y^{m}$ :

Aquí reducimos $a_iX^n$ a $a_iX^{n-3}Z$ en $f$ multiplicando $X^3 - Z$ por $a_i X^{n-3}$ y restando. Y poco a poco vamos consiguiendo $a_iX^rZ^k$ donde $n = 3k+r$ y $0 \le r < 3$ . Si $r \neq 0$ entonces $a_iX^rZ^k \notin \mathbb Q[Y,Z]$ y por lo tanto $f^G \notin \mathbb Q[Y,Z]$ . De lo contrario, tenemos $a_iZ^k$ y sustituyendo $X^3$ tenemos el término original.

Este argumento también demuestra el caso de $a_iX^{n-m}Y^{m}$ donde $n-m = 3k + r$ y $0 \le r < 3$ .

Ahora bien, si $f^G \in \mathbb Q[Y,Z]$ por los casos / argumentos anteriores, tenemos $f^G(WX, X^3) = f \in \mathbb Q[W,X]$ .