Ejemplos de divisores en una variedad analítica

Question

Estoy tratando de entender los divisores leyendo a Griffith y Harris pero es difícil encontrar algún ejemplo interesante. He ojeado el libro de Hartshone pero todo está expresado en términos de esquemas, y creo que aún es posible encontrar algún ejemplo de juguete para llevar sin tener que aprender primero lo que es un esquema. ¿Alguien conoce alguna referencia o libro que tenga algún ejercicio o ejemplo sobre esto? En particular me gustaría ver ejemplos de sistemas lineales de divisores y cómo dado un sistema lineal de dimensión $n$ Puedo elegir un lápiz en su interior.

Disculpas si este no es el lugar para escribir esto, es mi primer post. He buscado entre las preguntas y no he encontrado nada similar.

Answer 1

He aquí un ejemplo básico (¡y a menudo utilizado!): el lugar cero de un polinomio homogéneo de grado $d$ en $\mathbb{P}^n$ . Para concretar, permítanme explicar el caso $n = 1$ , $d = 2$ . Portada $\mathbb{P}^1$ con los dos subconjuntos abiertos $$\mathcal{U}_0 = \lbrace [x_0 : x_1] \; | x_0 \neq 0 \rbrace, \quad\text{and}\quad \mathcal{U}_1 = \lbrace [x_0 : x_1] \; | x_1 \neq 0 \rbrace$$ Las coordenadas locales de estos parches son $z:= x_1 / x_0$ y $w := x_0 / x_1$ respectivamente; en $\mathcal{U}_0 \cap \mathcal{U}_1$ están relacionados por $w = z^{-1}$ . Si su polinomio cuadrático está dado por $F = a_0 x_0^2 + a_1 x_0 x_1 + a_2 x_1^2$ , tienes las expresiones locales $$f_0 = a_0 z^2 + a_1 z + a_2, \quad\text{and}\quad f_1 = a_0 + a_1 w + a_2 w^2$$ respectivamente. Puede comprobar que están relacionados sobre $\mathcal{U}_0 \cap \mathcal{U}_1$ mediante la multiplicación por una unidad, y por lo tanto definir un divisor como una sección global de la gavilla $\mathcal{M}^\ast / \mathcal{O}^\ast$ . Obsérvese que este divisor sólo consta de dos puntos (contando las multiplicidades, por supuesto).

En estos términos, un lápiz viene dado por los lugares de fuga de las combinaciones lineales de la forma $\lambda F + \mu G$ , donde $\lambda, \mu \in \mathbb{C}$ no tanto cero como $G$ otro polinomio homogéneo de grado 2.

Como señaló Charlie, querrás aprender más sobre curvas, donde los divisores son combinaciones lineales integrales formales de puntos. Otros casos con hermosa geometría:

• Divisores en $\mathbb{P}^2$ te dan curvas planas, donde puedes ver el teorema de Bézout en funcionamiento.
• Lápices de polinomios homogéneos de grado 2 en $\mathbb{P}^n$ (es decir, lápices de hipersuperficies cuádricas) también constituyen un caso muy rico: El último capítulo de Griffiths y Harris habla de ello (aunque es un buen caso para jugar solo).

Answer 2

¿Quieres hormigón? Entonces, ¡quieres curvas y superficies! Echa un vistazo al capítulo V de "Curvas algebraicas y superficies de Riemann" de Miranda para ver un montón de cosas sobre los divisores, cómo están hechos de funciones, cómo pueden dar mapas al espacio proyectivo, etc. En cuanto a cómo elegir un lápiz, es simplemente elegir dos divisores que sean linealmente equivalentes, y tomar combinaciones lineales.

Para las superficies, querrás el libro de Beauville "Complex Algebraic Surfaces" que hace teoría de superficies sin esquemas, sobre $\mathbb{C}$ .

Answer 3

Hartshorne es la referencia donde se encuentra el siguiente ejemplo que puede ser útil. Yo lo que sigo todo es con multiplicidad . Ahora bien, Alberto señaló anteriormente el caso del divisor sobre $\mathbb{P}^1$ asociado a su "haz tangente": Dos puntos sobre la esfera contados con multiplicidad (a partir de aquí, sin embargo, no es difícil creer que la clase de Chern de dicho haz va a ser 2). Observa que estos dos puntos vienen dados por ceros de polinomios de grado dos definidos sobre la esfera. Creo que nada impide tomar ahora polinomios de grado 3, 4 y así sucesivamente. Entonces lo que obtenemos no son más que 3, 4 puntos sobre la esfera: Divisores de grado 3, 4 y así sucesivamente. Podemos hacer algo similar sobre todas las curvas (Superficies de Riemann) y lo que obtenemos son divisores: puntos con etiquetas . Tales etiquetas son las multiplicidades. Capítulo IV Hartshorne. o Klaus-Hulek: Geometría Algebraica Elemental.

Ahora, echemos un vistazo a divisores sobre la superficie $\mathbb{P}^2$ son curvas algebraicas (Superficies de Riemann). No se confunda por favor por el nombre de Superficie aquí. Aplicando el mismo argumento que antes, un divisor de grado dos va a ser el lugar cero de polinomios de grado 2: cónicas. Lo mismo para grado tres (cúbicos), cuatro (cuárticos), y así sucesivamente. Por ejemplo, en grado dos podríamos tener el divisor $C=([x:y:z]\in \mathbb{P}^2|\ \ x^2+y^2=z^2)$ . Deshomogeneización con $H=[z=1]$ se obtiene un polinomio perfecto $x^2+y^2=1$ que define la intersección $H\cap C$ . Así es como su divisor global $C$ parece localmente.

Tomando ahora una familia de divisores de grado dos, las cónicas, es bien sabido que el espacio de incrustaciones de cónicas en $\mathbb{P}^2$ es (el sistema lineal) $\mathbb{P}^5$ . Obtenemos esto considerando los coeficientes de la ecuación $ax^2+by^2+cz^2+dxy+exz+fyz=0$ como coordenadas en $\mathbb{P}^5$ . Obsérvese que de las consideraciones anteriores obtenemos el siguiente mapa, $$\phi:\mathbb{P}^2\rightarrow \mathbb{P}^5$$ dado por $[x:y:z]\mapsto [x^2:y^2:z^2:xy:xz:yz]$ . Aquí los lápices son una subfamilia de cónicas en el sistema lineal completo dado anteriormente con una determinada propiedad (averiguar cuál). Sin embargo, podemos considerar la siguiente subfamilia de cónicas: todas aquellas cónicas que pasan por un punto fijo en $\mathbb{P}^2$ . Esto no es más que un hiperplano $H$ en $\mathbb{P}^5$ . Incluso podemos considerar $\phi(\mathbb{P}^2)\cap H$ . Esto va a ser un divisor en $\mathbb{P}^2\cong \phi(\mathbb{P}^2)$ . ¿Adivina cuál? Hartshorne II sección 7.

Se pueden aplicar las ideas con el lugar cero de los polinomios de grado tres: Divisores de grado 3 en $\mathbb{P}^2$ . Se les dio el nombre de curvas elípticas . (alguien dijo que al considerar tales curvas, encontramos el divisor asociado al haz canónico de $\mathbb{P}^2$ ?). Podemos seguir con el grado y obtener divisores en el plano proyectivo de mayor grado. Estos eran sólo ejemplos de divisores en $\mathbb{P}^2$ . Obsérvese que todos ellos tienen una topología y una geometría no triviales. Este hecho no es una coincidencia y el libro de HG argumenta en esta dirección en el capítulo cero.

Answer 4

Para los divisores en las curvas, como recomendó Alberto más arriba, me gustó el libro de Otto Forster Conferencias sobre superficies de Riemann . La sección 16 del libro tiene un buen tratamiento en el camino hacia la demostración de Riemann-Roch.