Hartshorne es la referencia donde se encuentra el siguiente ejemplo que puede ser útil. Yo lo que sigo todo es con multiplicidad . Ahora bien, Alberto señaló anteriormente el caso del divisor sobre $\mathbb{P}^1$ asociado a su "haz tangente": Dos puntos sobre la esfera contados con multiplicidad (a partir de aquí, sin embargo, no es difícil creer que la clase de Chern de dicho haz va a ser 2). Observa que estos dos puntos vienen dados por ceros de polinomios de grado dos definidos sobre la esfera. Creo que nada impide tomar ahora polinomios de grado 3, 4 y así sucesivamente. Entonces lo que obtenemos no son más que 3, 4 puntos sobre la esfera: Divisores de grado 3, 4 y así sucesivamente. Podemos hacer algo similar sobre todas las curvas (Superficies de Riemann) y lo que obtenemos son divisores: puntos con etiquetas . Tales etiquetas son las multiplicidades. Capítulo IV Hartshorne. o Klaus-Hulek: Geometría Algebraica Elemental.
Ahora, echemos un vistazo a divisores sobre la superficie $\mathbb{P}^2$ son curvas algebraicas (Superficies de Riemann). No se confunda por favor por el nombre de Superficie aquí. Aplicando el mismo argumento que antes, un divisor de grado dos va a ser el lugar cero de polinomios de grado 2: cónicas. Lo mismo para grado tres (cúbicos), cuatro (cuárticos), y así sucesivamente. Por ejemplo, en grado dos podríamos tener el divisor $C=([x:y:z]\in \mathbb{P}^2|\ \ x^2+y^2=z^2)$ . Deshomogeneización con $H=[z=1]$ se obtiene un polinomio perfecto $x^2+y^2=1$ que define la intersección $H\cap C$ . Así es como su divisor global $C$ parece localmente.
Tomando ahora una familia de divisores de grado dos, las cónicas, es bien sabido que el espacio de incrustaciones de cónicas en $\mathbb{P}^2$ es (el sistema lineal) $\mathbb{P}^5$ . Obtenemos esto considerando los coeficientes de la ecuación $ax^2+by^2+cz^2+dxy+exz+fyz=0$ como coordenadas en $\mathbb{P}^5$ . Obsérvese que de las consideraciones anteriores obtenemos el siguiente mapa, $$\phi:\mathbb{P}^2\rightarrow \mathbb{P}^5$$ dado por $[x:y:z]\mapsto [x^2:y^2:z^2:xy:xz:yz]$ . Aquí los lápices son una subfamilia de cónicas en el sistema lineal completo dado anteriormente con una determinada propiedad (averiguar cuál). Sin embargo, podemos considerar la siguiente subfamilia de cónicas: todas aquellas cónicas que pasan por un punto fijo en $\mathbb{P}^2$ . Esto no es más que un hiperplano $H$ en $\mathbb{P}^5$ . Incluso podemos considerar $\phi(\mathbb{P}^2)\cap H$ . Esto va a ser un divisor en $\mathbb{P}^2\cong \phi(\mathbb{P}^2)$ . ¿Adivina cuál? Hartshorne II sección 7.
Se pueden aplicar las ideas con el lugar cero de los polinomios de grado tres: Divisores de grado 3 en $\mathbb{P}^2$ . Se les dio el nombre de curvas elípticas . (alguien dijo que al considerar tales curvas, encontramos el divisor asociado al haz canónico de $\mathbb{P}^2$ ?). Podemos seguir con el grado y obtener divisores en el plano proyectivo de mayor grado. Estos eran sólo ejemplos de divisores en $\mathbb{P}^2$ . Obsérvese que todos ellos tienen una topología y una geometría no triviales. Este hecho no es una coincidencia y el libro de HG argumenta en esta dirección en el capítulo cero.