¿Cómo derivar una restricción para una matriz semidefinida positiva?

Question

Dada una matriz semidefinida positiva (PSD) $M$ =: $$\begin{bmatrix} 1 & a & c \\ a & 1 & b \\ c & b & 1 \end{bmatrix}$$ Cómo llegar a la restricción: $$ab - \sqrt{(1-a^2)(1-b^2)} \le c \le ab + \sqrt{(1-a^2)(1-b^2)}$$ ?

Actualización:
Resulta que para obtener la restricción anterior, sólo tenemos que utilizar un criterio ( https://en.wikipedia.org/wiki/Sylvester%27s_criterion ) -- una matriz PSD debe tener un determinante no negativo. ¡Gracias a todas las grandes respuestas de abajo!

Answer 1

SUGERENCIA:

La matriz es semidefinida positiva, si y sólo si es la Matriz de gramos de tres vectores de norma $1$ . Ahora escribe $a$ , $b$ , $c$ como $\cos u$ , $\cos v$ , $\cos w$ .

Nota al margen: el determinante de la matriz es igual a $$\Delta = 4 \sin s \sin(s-u) \sin (s-v)\sin (s-w)$$ donde $2 s = u+v+w$ .

${\bf Added:}$ Utilizando sólo el álgebra: las condiciones son $|a|,|b|,|c|\le 1$ y el determinante $$1-(a^2 + b^2 + c^2 ) + 2 a b c \ge 0$$

La ecuación en $c$ $$1-(a^2 + b^2 + c^2 ) + 2 a b c = 0$$ tiene soluciones $$c_{1,2} = a b \pm \sqrt{(1-a^2)(1-b^2)}$$

Answer 2

Sugerencia y observación: Para la definición positiva debemos tener $1-a^2>0$ por lo que existe un número $\phi\in[0,pi)$ tal que $a=cos(\phi)$ . Además, queremos tener $$\det(M)=1-a^2-b^2-c^2+2abc>0,$$ es decir $$1-\cos^2(\phi)>b^2+c^2-2bc\cos(\phi).$$ Consideremos el triángulo con aristas $b$ y $c$ con ángulo inscrito $\phi$ . Llama a su tercera arista $u$ . Entonces sabemos $$\sin^2(\phi)=u^2,$$ es decir $\sin(\phi)=u$ para algún número no negativo $u$ . Para $\sin(\phi)= u$ la ley del seno nos dice que $u/\sin(\phi)=1$ por lo que los vértices del triángulo se encuentran dentro de un círculo de diámetro $1$ .